解:(1)由题意,得 解得, 抛物线的解析式为y=-x2-2x+3 顶点C的坐标为(-1,4) (2)假设在y轴上存在满足条件的点D, 过点C作CE⊥y轴于点E.
由∠CDA=90°得,∠1+∠2=90°. 又∠2+∠3=90°, ∴∠3=∠1. 又∵∠CED=∠DOA =90°, ∴△CED∽△DOA, ∴. 设D(0,c),则. 变形得,解之得. 综合上述:在y轴上存在点D(0,3)或(0,1), 使△ACD是以AC为斜边的直角三角形. (3)①若点P在对称轴右侧(如图①),
只能是△PCQ∽△CAH,得∠QCP=∠CAH. 延长CP交x轴于M,∴AM=CM, ∴AM2=CM2. 设M(m,0),则( m+3)2=42+(m+1)2,∴m=2,即M(2,0). 设直线CM的解析式为y=k1x+b1, 则, 解之得,. ∴直线CM的解析式. , 解得, (舍去). . ∴. ②若点P在对称轴左侧(如图②),
只能是△PCQ∽△ACH,得∠PCQ=∠ACH. 过A作CA的垂线交PC于点F,作FN⊥x轴于点N. 由△CFA∽△CAH得, 由△FNA∽△AHC得. ∴, 点F坐标为(-5,1). 设直线CF的解析式为y=k2x+b2,则,解之得. ∴直线CF的解析式. , 解得, (舍去). ∴. ∴满足条件的点P坐标为或 |