如图,二次函数y=x2﹣x+c的图象与x轴分别交于A、B两点,顶点M关于x轴的对称点是M′.(1)若A(﹣4,0),求二次函数的关系式;(2)在(1)的条件下,

如图,二次函数y=x2﹣x+c的图象与x轴分别交于A、B两点,顶点M关于x轴的对称点是M′.(1)若A(﹣4,0),求二次函数的关系式;(2)在(1)的条件下,

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如图,二次函数y=x2﹣x+c的图象与x轴分别交于A、B两点,顶点M关于x轴的对称点是M′.
(1)若A(﹣4,0),求二次函数的关系式;
(2)在(1)的条件下,求四边形AMBM′的面积;
(3)是否存在抛物线y=x2﹣x+c,使得四边形AMBM′为正方形?若存在,请求出此抛物线的函数关系式;若不存在,请说明理由.
答案
(1)(2)125(3)存在抛物线,使得四边形AMBM′为正方形
解析
解:(1)∵A(﹣4,0)在二次函数y=x2﹣x+c的图象上,


×(﹣4)2﹣(﹣4)+c=0,解得c=﹣12。
∴二次函数的关系式为
(2)∵
∴顶点M的坐标为(1,)。
∵A(﹣4,0),对称轴为x=1,∴点B的坐标为(6,0)。∴AB=6﹣(﹣4)=6+4=10。
∴SABM=
∵顶点M关于x轴的对称点是M′,∴S四边形AMBM′=2SABM=2×=125。
(3)存在抛物线,使得四边形AMBM′为正方形。理由如下:
在y=x2﹣x+c中,令y=0,则x2﹣x+c=0,
设点AB的坐标分别为A(x1,0)B(x2,0),
则x1+x2=,x1•x2=

点M的纵坐标为:
∵顶点M关于x轴的对称点是M′,四边形AMBM′为正方形,
,整理得,4c2+4c﹣3=0,解得c1=,c2=﹣
又抛物线与x轴有两个交点,
∴△=b2﹣4ac=(﹣1)2﹣4×c>0,解得c<。∴c的值为﹣
∴存在抛物线,使得四边形AMBM′为正方形。
(1)把点A的坐标代入二次函数解析式,计算求出c的值,即可得解。
(2)把二次函数解析式整理成顶点式解析式,根据对称性求出点B的坐标,求出AB的长。根据顶点坐标求出点M到x轴的距离,然后求出△ABM的面积,根据对称性可得S四边形AMBM′=2SABM,计算即可得解。
(3)令y=0,得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系求出AB的长度,根据抛物线解析式求出顶点M的纵坐标,然后根据正方形的对角线互相垂直平分且相等列式求解,如果关于c的方程有解,则存在,否则不存在。
举一反三
如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0),点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,m的值是【   】

(A)    (B)    (C)    (D) 
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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,﹣).
(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标;
(2)在抛物线上求点P,使SPOA=2SAOB
(3)在抛物线上是否存在点Q,使△AQO与△AOB相似?如果存在,请求出Q点的坐标;如果不存在,请说明理由.
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抛物线经过点(2,4),则代数式的值为【   】
A.3B.9 C.D.

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如图,二次函数的图象经过(-2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是【   】
A.y的最大值小于0     B.当x=0时,y的值大于1
C.当x=-1时,y的值大于1 D.当x=-3时,y的值小于0

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如图1,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-3,0),B(-1,0),与y轴相交于点C,⊙O1为△ABC的外接圆,交抛物线于另一点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半径;
(3)如图2,抛物线的顶点为P,连接BP,CP,BD,M为弦BD中点,若点N在坐标平面内,满足△BMN∽△BPC,请直接写出所有符合条件的点N的坐标.
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