如图,在△ABC中,AB=2,AC="BC=" 5 .(1)以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系如图,请你分别写出A、B、C三点的坐标
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如图,在△ABC中,AB=2,AC="BC=" 5 .(1)以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系如图,请你分别写出A、B、C三点的坐标
题型:不详
难度:
来源:
如图,在△ABC中,AB=2,AC="BC=" 5 .
(1)以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系如图,请你分别写出A、B、C三点的坐标;
(2)求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式;
(3)若D为抛物线上的一动点,当D点坐标为何值时,S
△ABD
=
S
△ABC
;
(4)如果将(2)中的抛物线向右平移,且与x轴交于点A′B′,与y轴交于点C′,当平移多少个单位时,点C′同时在以A′B′为直径的圆上(解答过程如果有需要时,请参看阅读材料).
附:阅读材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法,对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解.如解方程:y
4
-4y
2
+3=0.
解:令y
2
=x(x≥0),则原方程变为x
2
-4x+3=0,解得x
1
=1,x
2
=3.
当x
1
=1时,即y
2
=1,∴y
1
=1,y
2
=-1.
当x
2
=3,即y
2
=3,∴y
3
=" 3" ,y
4
="-" 3 .
所以,原方程的解是y
1
=1,y
2
=-1,y
3
=" 3" ,y
4
="-" 3 .
再如
,可设
,用同样的方法也可求解.
答案
解:(1)∵AB的垂直平分线为y轴,
∴OA=OB=
AB=
×2=1,
∴A的坐标是(-1,0),B的坐标是(1,0).
在直角△OAC中,
,
则C的坐标是:(0,2);
(2)设抛物线的解析式是:y=ax
2
+b,
根据题意得:
,解得:
,
则抛物线的解析式是:
;
(3)∵S
△ABC
=
AB•OC=
×2×2=2,
∴S
△ABD
=
S
△ABC
=1.
设D的纵坐标是m,则
AB•|m|=1,
则m=±1.
当m=1时,-2x
2
+2=1,解得:x=±
,
当m=-1时,,-2x
2
+2=-1,解得:x=±
,
则D的坐标是:(
,1)或(-
,1)或(
,-1),或(-
,-1).
(4)设抛物线向右平移c个单位长度,则0<c≤1,OA′=1-c,OB′=1+c.
平移以后的抛物线的解析式是:y=-2(x-c)
2
+b.
令x=0,解得y=-2c
2
+2.即OC′= -2c
2
+2.
当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有:OC′
2
=OA′•OB′,
则(-2c
2
+2)
2
=(1-c)(1+c),
即(4c
2
-3)(c
2
-1)=0,
解得:c=
,
(舍去),1,
(舍去).
故平移
或1个单位长度.
解析
(1)根据y轴是AB的垂直平分线,则可以求得OA, OB的长度,在直角△OAC中,利用勾股定理求得OC的长度,则A、B、C的坐标即可求解;
(2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;
(3)首先求得△ABC的面积,根据S
△ABD
=
S
△ABC
,以及三角形的面积公式,即可求得D的纵坐标,把D的纵坐标代入二次函数的解析式,即可求得横坐标.
(4)设抛物线向右平移c个单位长度,则0<c≤1,可以写出平移以后的函数解析式,当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有:OC′
2
=OA•OB,据此即可得到一个关于c的方程求得c的值.
举一反三
设二次函数
,当
时,总有
,当
时,总有
,那么c的取值范围是【 】
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标xOy中,(如图)正方形OABC的边长为4,边OA在x轴的正半轴上,边OC在y轴的正半轴上,点D是OC的中点,BE⊥DB交x轴于点E.
⑴求经过点D、B、E的抛物线的解析式;
⑵将∠DBE绕点B旋转一定的角度后,边BE交线段OA于点F,边BD交y轴于点G,交⑴中的抛
物线于M(不与点B重合),如果点M的横坐标为
,那么结论OF=
DG能成立吗?请说明理由.
⑶过⑵中的点F的直线交射线CB于点P,交⑴中的抛物线在第一象限的部分于点Q,且使△PFE为等腰三角形,求Q点的坐标.
题型:不详
难度:
|
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如图1,在直角坐标系中,O是坐标原点,点A在y轴正半轴上,二次函数y=ax
2
+
x +c的图象F交x轴于B、C两点,交y轴于M点,其中B(-3,0),M(0,-1)。已知AM=BC。
(1)求二次函数的解析式;
(2)证明:在抛物线F上存在点D,使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形,并请求出直线BD的解析式;
(3)在(2)的条件下,设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点,AC、BD相交于N。
①若直线l⊥BD,如图1所示,试求
的值;
②若l为满足条件的任意直线。如图2所示,①中的结论还成立吗?若成立,证明你的猜想;若不成立,请举出反例。
题型:不详
难度:
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已知,在同一直角坐标系中,反比例函数
与二次函数
的图像交于点
.
(1)求
、
的值;
(2)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.
题型:不详
难度:
|
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如图,在等腰梯形ABCD中,AB‖CD,已知
,
,
,以
所在直线为
轴,
为坐标原点,建立直角坐标系,将等腰梯形ABCD绕A点按顺时针方向旋转
得到等腰梯形OEFG(O、E、F、G分别是A、B、C、D旋转后的对应点)(如图).
⑴在直线DC上是否存在一点
,使
为等腰三角形,若存在,写出出
点的坐标,若不存在,请说明理由.
⑵将等腰梯形ABCD沿
轴的正半轴平行移动,设移动后的
(0<x≤6),等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为
,求
与
之间的函数关系式.并求出重叠部分的面积的最大值。
题型:不详
难度:
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