解:(1)当m=3时,y=-x2+6x。 令y=0得-x2+6x=0,解得,x1=0,x2=6。∴A(6,0)。 当x=1时,y=5。∴B(1,5)。 ∵抛物线y=-x2+6x的对称轴为直线x=3,且B,C关于对称轴对称,∴BC=4。 (2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1) 由已知得,∠ACP=∠BCH=90°,∴∠ACH=∠PCB。 又∵∠AHC=∠PBC=90°,∴△AGH∽△PCB。 ∴。 ∵抛物线y=-x2+2mx的对称轴为直线x=m,其中m>1,且B,C关于对称轴对称, ∴BC=2(m-1)。 ∵B(1,2m-1),P(1,m),∴BP=m-1。 又∵A(2m,0),C(2m-1,2m-1),∴H(2m-1,0)。 ∴AH=1,CH=2m-1, ∴,解得m= 。 (3)存在。∵B,C不重合,∴m≠1。 (I)当m>1时,BC=2(m-1),PM=m,BP=m-1, (i)若点E在x轴上(如图1), ∵∠CPE=90°,∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°,PC=EP。 ∴△BPC≌△MEP,∴BC=PM,即2(m-1)=m,解得m=2。 此时点E的坐标是(2,0)。 (ii)若点E在y轴上(如图2),过点P作PN⊥y轴于点N, 易证△BPC≌△NPE, ∴BP=NP=OM=1,即m-1=1,解得,m=2。 此时点E的坐标是(0,4)。 (II)当0<m<1时,BC=2(1-m),PM=m,BP=1-m, (i)若点E在x轴上(如图3), 易证△BPC≌△MEP, ∴BC=PM,即2(1-m)=m,解得,m=。 此时点E的坐标是( ,0)。 (ii)若点E在y轴上(如图4), 过点P作PN⊥y轴于点N,易证△BPC≌△NPE, ∴BP=NP=OM=1,即1-m=1,∴m=0(舍去)。 综上所述,当m=2时,点E的坐标是(0,2)或(0,4), 当m=时,点E的坐标是(,0)。 (1)把m=3,代入抛物线的解析式,令y=0解方程,得到的非0解即为和x轴交点的横坐标,再求出抛物线的对称轴方程,从而求出BC的长。 (2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1)由已知得∠ACP=∠BCH=90°,利用已知条件证明 △AGH∽△PCB,根据相似的性质得到: ,再用含有m的代数式表示出BC,CH,BP,代入比例式即可求出m的值。 (3)存在。本题要分当m>1时,BC=2(m-1),PM=m,BP=m-1和当0<m<1时,BC=2(1-m),PM=m,BP=1-m,两种情况分别讨论,再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标。 |