如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一个动点(点C除外)，直线PM交AB的延长线于

题型：不详难度：来源：

如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一个动点(点C除外)，直线PM交AB的延长线于点D．
小题1:求点D的坐标(用含m的代数式表示)；
小题2:当△ADP是等腰三角形时，求m的值；
小题3:设过点P、M、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图2)．当点P从原点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长(不写解答过程)．

答案

小题1:点D的坐标为（2，4－m）
小题2:m的值为或或
小题3:点H所经过的路径长为

解析

解：⑴由题意得CM=BM，
∵∠PMC=∠DMB，
∴Rt△PMC≌Rt△DMB，
∴DB=PC，
∴DB=2－m，AD=4－m,
∴点D的坐标为（2，4－m）.
⑵分三种情况
① 

y

x

M

D

B

P

C

O

A

若AP=AD，则4＋m²=(4－m)²，解得② 若PD=PA

F

过P作PF⊥AB于点F（如图），则AF=FD=AD=（4－m）
又OP=AF，
∴  
③若PD=DA，
∵△PMC≌△DMB，
∴PM=PD=AD=（4－m）,
∵PC²＋CM²=PM²，
∴
解得(舍去)。
综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为或或
⑶点H所经过的路径长为