已知一元二次方程x2+ax+a-2=0.(1)求证:不论a为何实数,此方程总有两个不相等的实数根;(2)设a<0,当二次函数y=x2+ax+a-2的图象与x轴的
题型:不详难度:来源:
已知一元二次方程x2+ax+a-2=0. (1)求证:不论a为何实数,此方程总有两个不相等的实数根; (2)设a<0,当二次函数y=x2+ax+a-2的图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式; (3)在(2)的条件下,若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为,若存在求出P点坐标,若不存在请说明理由. |
答案
(1)因为△=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0, 所以不论a为何实数,此方程总有两个不相等的实数根. (2)设x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的两个根,则x1+x2=-a,x1•x2=a-2,因两交点的距离是, 所以|x1-x2|==.即:(x1-x2)2=13 变形为:(x1+x2)2-4x1•x2=13所以:(-a)2-4(a-2)=13 整理得:(a-5)(a+1)=0解方程得:a=5或-1 又因为:a<0,所以:a=-1 所以:此二次函数的解析式为y=x2-x-3. (3)设点P的坐标为(x0,y0),因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于, 所以:AB=所以:S△PAB=AB•|y0|= 所以:= 即:|y0|=3,则y0=±3 当y0=3时,x02-x0-3=3,即(x0-3)(x0+2)=0 解此方程得:x0=-2或3 当y0=-2时,x02-x0-3=-3,即x0(x0-1)=0 解此方程得:x0=0或1 综上所述,所以存在这样的P点,P点坐标是(-2,3),(3,3),(0,-3)或(1,-3). |
解析
(1)判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了,(2)根据二次函数图象与x轴的两个交点的距离公式解答即可.(3)是二次函数综合应用问题和三角形的综合应用 |
举一反三
巳知二次函数y=a(x2-6x+8)(a>0)的图象与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.
(1)如图①.连接AC,将△OAC沿直线AC翻折,若点O的对应点0"恰好落在该抛物线的对称轴上,求实数a的值; (2)如图②,在正方形EFGH中,点E、F的坐标分别是(4,4)、(4,3),边HG位于边EF的右侧.小林同学经过探索后发现了一个正确的命题:“若点P是边EH或边HG上的任意一点,则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形).“若点P是边EF或边FG上的任意一点,刚才的结论是否也成立?请你积极探索,并写出探索过程; (3)如图②,当点P在抛物线对称轴上时,设点P的纵坐标l是大于3的常数,试问:是否存在一个正数a,使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)?请说明理由. |
函数(为常数)的图象如图,如果时, ;那么时,函数值( ▲ )
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抛物线的顶点坐标为 . |
如图,等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上,顶点C在y轴正半轴上,已知点B(4,2),D(-1,0),且一次函数y=kx-1的图象平分等腰梯形ABCD的面积。
(1)求等腰梯形ABCD的中位线长及一次函数y=kx-1中k的值. (2)若关于x的函数y=mx2-(3m+k)x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点,求m的值. |
如图所示,已知平面直角坐标系xOy,抛物线过点A(4,0)、B(1,3)
小题1:求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标; 小题2:记该抛物线的对称轴为直线l,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P关于直线l的对称点为E,点E关于y轴的对称点为F,若四边形OAPF的面积为20,求m、n的值. |
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