巳知二次函数y=a(x2-6x+8)(a>0)的图象与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.(1)如图①.连接AC,将△OAC沿直线AC翻折

巳知二次函数y=a(x2-6x+8)(a>0)的图象与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.(1)如图①.连接AC,将△OAC沿直线AC翻折

题型:不详难度:来源:
巳知二次函数ya(x2-6x+8)(a>0)的图象与x轴分别交于点AB,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.

(1)如图①.连接AC,将△OAC沿直线AC翻折,若点O的对应点0"恰好落在该抛物线的对称轴上,求实数a的值;
(2)如图②,在正方形EFGH中,点EF的坐标分别是(4,4)、(4,3),边HG位于边EF的右侧.小林同学经过探索后发现了一个正确的命题:“若点P是边EH或边HG上的任意一点,则四条线段PAPBPCPD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形).“若点P是边EF或边FG上的任意一点,刚才的结论是否也成立?请你积极探索,并写出探索过程;
(3)如图②,当点P在抛物线对称轴上时,设点P的纵坐标l是大于3的常数,试问:是否存在一个正数a,使得四条线段PAPBPCPD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)?请说明理由.
答案
(1)令y=0,由解得
x=0,解得y=8a
∴点ABC的坐标分别是(2,0)、(4,0)、(0,8a),
该抛物线对称轴为直线x=3.
OA=2.
如图①,设抛物线对称轴与x轴交点为M,则AM=1.
由题意得:
,∴∠OAM=60°.
,即.∴
(2)若点P是边EF或边FG上的任意一点,结论同样成立.
(Ⅰ)如图②,设点P是边EF上的任意一点(不与点E重合),连接PM
∵点E(4,4)、F(4,3)与点B(4,0)在一直线上,点Cy轴上,
PB<4,PC≥4,∴PC>PB
PD>PM>PBPA>PM>PB
PBPAPBPCPBPD
∴此时线段PAPBPCPD不能构成平行四边形.
(Ⅱ)设P是边FG上的任意一点(不与点G重合),
∵点F的坐标是(4,3),点G的坐标是(5,3).
FB=3,,∴3≤PB<
PC≥4,∴PC>PB

(3)存在一个正数a,使得线段PAPBPC能构成一个平行四边形.
如图③,∵点AB时抛物线与x轴交点,点P在抛物线对称轴上,
PAPB
∴当PCPD时,线段PAPBPC能构成一个平行四边形.
∵点C的坐标是(0,8a),点D的坐标是(3,-a).
P的坐标是(3,t),
PC2=32+(t-8a)2PD2=(ta)2
整理得7a2-2ta+1=0,∴Δ=4t2-28.
t是一个常数且t>3,∴Δ=4t2-28>0
∴方程7a2-2ta+1=0有两个不相等的实数根
显然,满足题意.
∵当t是一个大于3的常数,存在一个正数,使得线段PAPBPC能构成一个平行四边形.
解析
二次函数的综合运用
举一反三
函数为常数)的图象如图,如果时,
;那么时,函数值( ▲ )
A.B.
C.D.

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抛物线的顶点坐标为          
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如图,等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上,顶点C在y轴正半轴上,已知点B(4,2),D(-1,0),且一次函数y=kx-1的图象平分等腰梯形ABCD的面积。

(1)求等腰梯形ABCD的中位线长及一次函数y=kx-1中k的值.
(2)若关于x的函数y=mx2-(3m+k)x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点,求m的值.
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如图所示,已知平面直角坐标系xOy,抛物线过点A(4,0)、B(1,3)

小题1:求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
小题2:记该抛物线的对称轴为直线l,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P关于直线l的对称点为E,点E关于y轴的对称点为F,若四边形OAPF的面积为20,求m、n的值.
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在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的对称轴是,并且经过点(-2,-5).

(1)求此抛物线的解析式;
(2)设此抛物线与x轴交于AB两点(点A在点B的左侧),与y轴交于C点,D是线段BC上一点(不与点BC重合), 若以BOD为顶点的三角形与△BAC相似,求点D的坐标;
(3)点Py轴上,点M在此抛物线上,若要使以点PMAB为顶点的四边形是平行四边形,请你直接写出点M的坐标.
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