抛物线交轴于、两点,交轴于点,顶点为.小题1:(1)写出抛物线的对称轴及、两点的坐标(用含的代数式表示)小题2:(2)连接并以为直径作⊙,当时,请判断⊙是否经过
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抛物线交轴于、两点,交轴于点,顶点为.小题1:(1)写出抛物线的对称轴及、两点的坐标(用含的代数式表示)小题2:(2)连接并以为直径作⊙,当时,请判断⊙是否经过
题型:不详
难度:
来源:
抛物线
交
轴于
、
两点,交
轴于点
,顶点为
.
小题1:(1)写出抛物线的对称轴及
、
两点的坐标(用含
的代数式表示)
小题2:(2)连接
并以
为直径作⊙
,当
时,请判断⊙
是否经过点
,并说明理由;
小题3:(3)在(2)题的条件下,点
是抛物线上任意一点,过
作直线垂直于对称轴,垂足为
. 那么是否存在这样的点
,使△
与以
、
、
为顶点的三角形相似?若存在,请求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
小题1:(1)过点C作CH⊥
轴,垂足为H
∵在Rt△OAB中,∠OAB=90
0
,∠BOA=30
0
,AB=2 ∴OB=4,OA=
由折叠知,∠COB=30
0
,OC=OA=
∴∠COH=60
0
,OH=
,CH=3 ∴C点坐标为(
,3)
小题2:(2)∵抛物线
(
≠0)经过C(
,3)、A(
,0)两点
∴
解得:
∴此抛物线的解析式为:
小题3:(3)存在. 因为
的顶点坐标为(
,3)即为点C,MP⊥
轴,设垂足为N,PN=
,因为∠BOA=30
0
,所以ON=
, ∴P(
,
)
作PQ⊥CD,垂足为Q,ME⊥CD,垂足为E
把
代入
得:
∴ M(
,
),E(
,
)
同理:Q(
,
),D(
,1)
要使四边形CDPM为等腰梯形,只需CE=QD
即
,解得:
,
(舍)
∴ P点坐标为(
,
)
∴ 存在满足条件的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形,此时P点的坐为(
,
) (12分)
解析
(1)由抛物线y=ax
2
+2x+3(a<0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,顶点为D,根据二次函数的对称轴方程与顶点坐标的求解方法即可求得对称轴及D点的坐标,又由当x=0时,y=3,求得C点的坐标;
(2)首先求得点B,C,D的坐标,然后根据两点间的距离公式,求得BC,CD,BD的平方的值,即可得CD
2
+BC
2
=DB
2
,由勾股定理的逆定理,可求得∠DCB=90°,又由直径所对的圆周角是直角,可得⊙M是经过点C;
(3)首先求得CD,BC,的长,然后分别从①若点P在对称轴的左侧,且△PQD∽△DCB,②若点P在对称轴的左侧,且△PQD∽△BCD,③若点P在对称轴的右侧,且△PQD∽△DCB,④若点P在对称轴的右侧,且△PQD∽△BCD去分析,根据相似三角形的对应边成比例,求得方程,解方程即可求得答案.
解:(1)∵抛物线y=ax
2
+2x+3(a<0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,顶点为D.
∴对称轴为:x=-
∵当x=0时,y=3,
∴C的坐标为:(0,3),
∵D点的纵坐标为:y=
,
D点的坐标为:(-
,
);…(3分)
(2)⊙M经过点C,
理由:连接BC,
∵a=-1,
∴抛物线为:y=-x
2
+2x+3,
∴点D(1,4),点B(3,0),点C(0,3),
∴CD
2
=2,BD
2
=20,BC
2
=18,
∴CD
2
+BC
2
=DB
2
,
∴∠DCB=90°,
∵BD是直径,
∴∠BCD是直径所对的圆周角,
∴⊙M是经过点C;(3分)
(3)存在. 因为
的顶点坐标为(
,3)即为点C,MP⊥
轴,设垂足为N,PN=
,因为∠BOA=30
0
,所以ON=
, ∴P(
,
)
作PQ⊥CD,垂足为Q,ME⊥CD,垂足为E
把
代入
得:
∴ M(
,
),E(
,
)
同理:Q(
,
),D(
,1)
要使四边形CDPM为等腰梯形,只需CE=QD
即
,解得:
,
(舍)
∴ P点坐标为(
,
)
∴ 存在满足条件的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形,此时P点的坐为(
,
) (12分)
举一反三
二次函数
的图象如图所示,若
,
,
,则( )
(
A
)
,
,
(
B
)
,
,
(
C
)
,
,
(
D
)
,
,
题型:不详
难度:
|
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已知一元二次方程
的两个实数根
、
满足
和
,那么二次函数
的图象有可能是( )
题型:不详
难度:
|
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如图为坐标平面上二次函数
的图形,且此图形通(-1 , 1)、(2 ,-1)两点.下列关于此二次函数的叙述,何者正确?( )
A.
y
的最大值小于0
B.当
x
=0时,
y
的值大于1
C.当
x
=1时,
y
的值大于1
D.当
x
=3时,
y
的值小于0
题型:不详
难度:
|
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将二次函数
化为
的形式,则
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
将抛物线y=x
2
-2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位得到的抛物线是_______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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