如图，对称轴为直线的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4)．小题1:求抛物线解析式及顶点坐标；小题2:设点E(x，y)是抛物线第四象限上一动点，四边形OEAF是

题型：不详难度：来源：

如图，对称轴为直线的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4)．

小题1:求抛物线解析式及顶点坐标；
小题2:设点E(x，y)是抛物线第四象限上一动点，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围
小题3:若S＝24，试判断OEAF是否为菱形。
小题4:若点E在⑴中的抛物线上，点F在对称轴上，以O、E、A、F为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，求出点E、F的坐标；若不能，请说明理由。（第⑷问不写解答过程，只写结论）

答案

小题1:；()
小题2:因为E在第四象限所以y＜0，可得(1＜x＜6)
小题3:不一定，由S＝24可角得x＝3或x＝4，当时x＝3是菱形，当x＝4时不是菱形
小题4:E₁，F₁()；E₂()，F₂()；E₃()，F₃()

解析

（1）已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A、B两点坐标代入求解即可．
（2）平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标，那么E点纵坐标的绝对值即为△OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而可得出S与x的函数关系式．
（3）将S=24代入S，x的函数关系式中求出x的值，即可得出E点的坐标和OE，OA的长；如果平行四边形OEAF是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF是否为菱形．
（4）根据O、E、A、F为顶点的四边形能否为平行四边形，利用平行四边形的性质得出即可．
解：（1）因为抛物线的对称轴是x=，
设解析式为y=a（x-）²+k．
把A（6，0），B（0，4）两点坐标代入上式，得 ，
解得a=，k=-．
故抛物线解析式为y=（x-）²-，顶点为（ ，-）．
（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=（x-）²-，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示点E到OA的距离．
∵OA是四边形OEAF的对角线，
∴S=2S_△OAE=2××OA?|y|=-6y=-4（x-）²+25．
因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），
所以自变量x的取值范围是1＜x＜6．