解 (I)∵, ∴抛物线的顶点坐标为(). (II)①根据题意,可得点A(0,1), ∵F(1,1). ∴AB∥x轴.得AF=BF=1,
②成立. 理由如下:
如图,过点P()作PM⊥AB于点M,则FM=,PM=() ∴Rt△PMF中,有勾股定理,得
又点P()在抛物线上, 得,即 ∴ 即. 过点Q()作QN⊥B,与AB的延长线交于点N, 同理可得. 图文∠PMF=∠QNF=90°,∠MFP=∠NFQ, ∴△PMF∽△QNF 有 这里, ∴ 即 (Ⅲ) 令, 设其图象与抛物线交点的横坐标为,,且<, ∵抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的,
观察图象.随着抛物线向右不断平移,,的值不断增大, ∴当满足,.恒成立时,m的最大值在处取得。 可得当时.所对应的即为m的最大值. 于是,将带入, 有 解得或(舍) ∴ 此时,,得 解得, ∴m的最大值为8 |