如图1,在第一象限内,直线y=mx与过点B(0,1)且平行于x轴的直线l相交于点A,半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E,且与直线l分别交于不同
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如图1,在第一象限内,直线y=mx与过点B(0,1)且平行于x轴的直线l相交于点A,半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E,且与直线l分别交于不同
题型:福建省中考真题
难度:
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如图1,在第一象限内,直线y=mx与过点B(0,1)且平行于x轴的直线l相交于点A,半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E,且与直线l分别交于不同的M、N两。
(1)当点A的坐标为(
,p)时,①填空:p=_____,m=______,∠AOE=_______;
②如图2,连接QT、QE,QE交MN于点F,当r=2时,试说明:以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形;
(2)在图1中,连接EQ并延长交⊙Q于点D,试探索:对m、r的不同取值,经过M、D、N三点的抛物线y=ax
2
+bx+c,a的值会变化吗?若不变,求出a的值;若变化,请说明理由。
图1 图2
答案
解:(1)①P=1,m=
,∠AOE=60°;
②连结TM、ME、EN,NQ、MQ(如图1)
∵OE切于点E,l∥x轴
∴∠OEQ=∠QFM=90°,且NF=MF
又∵QF=2-1=1=EF,
∴四边形MENQ是平行四边形,
∴QN∥ME
在Rt△QFN中,QF=1,QN=2,
∴∠FQN=60°
依题意,在四边形OEQT中,∠TOE=60°,∠OTQ=∠OEQ=90°,
∴∠TQE=120°
∴∠TQE+∠NQE =180°,
∴T、Q、N在同一直线上
∴ME∥TN,ME≠TN,且∠TMN=90°,
又∠TNM=30°,
∴MT=2,
又QE=QN=2,
∴△EQN为等边三角形,
∴EN=2,
∴EN=MT,
∴四边形MENT是等腰梯形;
注:也可证明∠MTN=∠ENT=60°
图1
(2)a的值不变,理由如下:
如图,DE与MN交于点F,连结MD、ME,
∵DE是⊙O的直径,
∴∠DME=90°,
又∵∠MFD=90°,
∴∠MDE=∠EMN,
∴tan∠MDE=tan∠EMN ,
∴
,
即
(1) (注:本式也可由△MDF~△EMF得到)
∵在平移过程中,图形的形状及特征保持不变,抛物线
的图象可通过
的图象平移得到,
∴可以将问题转化为:点D在y轴上,点M、N在x轴上进行探索(如图2),
由图形的对称性可得点D为抛物线顶点,
依题意,得,设D(0,k)(k=2r-1>0),M(x
1
,0),N(x
2
,0)(x
2
<x
2
),
则经过M、D、N三点的抛物线为
,
当y=0时,x
1
、x
2
为
的两根,解得
,
∴
,
代入(1)式得
,
∴
,
又k>0,
∴a=-1,
故a的值不变。
图2
举一反三
函数y=x
2
-2x+1中自变量x与因变量y的取值范围分别为
[ ]
A.x=0,y=2
B.x为一切实数,y为一切实数
C.x为一切实数,y为大于或等于0的实数
D.x为一切实数,y为小于或等于0的实数
题型:福建省月考题
难度:
|
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把二次函数
用配方法化成
的形式
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:四川省中考真题
难度:
|
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将y=(2x-1)(x+2)+1化成y=a(x+m)
2
+n的形式为
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:山东省中考真题
难度:
|
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函数y=asinxcosx+bsinx+bcosx+c运用换元法可以化简为:将( )设为t,则化简为( )。(友情提醒:sin
2
x=1-cos
2
x)
题型:福建省中考真题
难度:
|
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下列函数中是二次函数的有
①
;②y=3(x-1)
2
+2;③y=(x+3)
2
-2x
2
; ④
[ ]
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:河北省同步题
难度:
|
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