如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，点A的坐标为（2，0），点B在第一象限内，且OB=，∠OBA=90°，以边OB

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，点A的坐标为（2，0），点B在第一象限内，且OB=，∠OBA=90°，以边OB所在直线折叠Rt△OAB，使点A落在点C处。
（1）求证：△OAC为等边三角形；
（2）点D在x轴的正半轴上，且点D的坐标为（4，0），点P为线段OC上一动点（点P不与点O重合），连接PA、PD，设PC=x，△PAD的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x=时，过点A作AM⊥PD于点M，若k=，求证：二次函数的图象关于y轴对称。

答案

解：（1）由题意可知 OA=OC，
∵∠OBA=90°，OB=，A的坐标为（2，0），
∴sin∠OAB=，
∴∠OAB=60°，
∴△OAC为等边三角形；
（2）由（1）可知OC=OA=2，∠COA=60°，
∵PC=x，
∴OP=2-x
过点P作PE⊥OA于点E，在Rt△POE中，sin∠POE=，即，
∴，
∴，
∴；
（3）当x=时，即PC=，
∴OP=，
在Rt△POE中，PE=OP·sin ∠POE=
OE=OP·cos∠POE=，
∴DE=OD-OE=
∴在Rt△PDE中，PD=，
又∵S_△PAD=
∴S_△PAD=，
∴AM=，
∴k=
∴
∴，
∵此二次函数图象的对称轴是直线x=0，
∴此二次函数的图象关于y轴对称。