解:(1)∵点O是AB的中点,
∴,
设点B的横坐标是x(x>0),则,
解得(舍去),
∴点B的横坐标是;
(2)①当时,
得(*),,
以下分两种情况讨论:
情况1:设点C在第一象限(如图甲),则点C的横坐标为,,
由此,可求得点C的坐标为,
点A的坐标为,
∵A,B两点关于原点对称,
∴点B的坐标为,
将点A的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点A的纵坐标;
将点B的横坐标代入(*)式右边,计算得-,即等于点B的纵坐标,
∴在这种情况下,A,B两点都在抛物线上;
情况2:设点C在第四象限(如图乙),则点C的坐标为,
点A的坐标为,点B的坐标为,
经计算,A,B两点都不在这条抛物线上;
②存在;m的值是1或-1。
,因为这条抛物线的对称轴经过点C,所以-1≤m≤1,
当m=±1时,点C在x轴上,
此时A,B两点都在y轴上,
因此当m=±1时,A,B两点不可能同时在这条抛物线上。
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