如图,抛物线y=-x2+bx+c的顶点为Q,与x轴交于A(-1,0)、B(5,0)两点,与y轴交于C点.(1)直接写出抛物线的解析式及其顶点Q的坐标;(2)在该

如图,抛物线y=-x2+bx+c的顶点为Q,与x轴交于A(-1,0)、B(5,0)两点,与y轴交于C点.(1)直接写出抛物线的解析式及其顶点Q的坐标;(2)在该

题型:不详难度:来源:
如图,抛物线y=-x2+bx+c的顶点为Q,与x轴交于A(-1,0)、B(5,0)两点,与y轴交于C点.
(1)直接写出抛物线的解析式及其顶点Q的坐标;
(2)在该抛物线的对称轴上求一点P,使得△PAC的周长最小.请在图中画出点P的位置,并求点P的坐标.
答案
(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0)、B(5,0),





-1-b+c=0
-25+5b+c=0

解得





b=4
c=5

∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5,
∵y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,
∴Q(2,9);

(2)如图,连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC
∵AC长为定值,
∴要使△PAC的周长最小,只需PA+PC最小.
∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B(5,0),抛物线y=-x2+4x+5与y轴交点C的坐标为(0,5),
∴由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小,
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
将B(5,0)、C(0,5)代入得





5k+b=0
b=5

解得





k=-1
b=5

∴y=-x+5,
当x=2时,y=-2+5=3,
∴点P的坐标为(2,3).
举一反三
在足球比赛中,当守门员远离球门时,进攻队员常常使用“吊射”的战术(把球高高地挑过守门员的头顶,射入球门).一位球员在离对方球门30米的M处起脚吊射,假如球飞行的路线是一条抛物线,在离球门14米时,足球达到最大高度
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米.如图a:以球门底部为坐标原点建立坐标系,球门PQ的高度为2.44米.问:

(1)通过计算说明,球是否会进球门?
(2)如果守门员站在距离球门2米远处,而守门员跳起后最多能摸到2.75米高处,他能否在空中截住这次吊射?
(3)如图b:在另一次地面进攻中,假如守门员站在离球门中央2米远的A点处防守,进攻队员在离球门中央12米的B处以120千米/小时的球速起脚射门,射向球门的立柱C.球门的宽度CD为7.2米,而守门员防守的最远水平距离S和时间t之间的函数关系式为S=10t,问这次射门守门员能否挡住球?
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如图①,点A′,B′的坐标分别为(2,0)和(0,-4),将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋转90°后得△ABO,点A′的对应点是点A,点B′的对应点是点B.
(1)写出A,B两点的坐标,并求出直线AB的解析式;
(2)将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠,(点C在x轴上,点D在AB上,点D不与A,B重合)如图②,使点B落在x轴上,点B的对应点为点E.设点C的坐标为(x,0),△CDE与△ABO重叠部分的面积为S.
①试求出S与x之间的函数关系式(包括自变量x的取值范围);
②当x为何值时,S的面积最大,最大值是多少?
③是否存在这样的点C,使得△ADE为直角三角形?若存在,直接写出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,4),顶点为(1,
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2
).

(1)求抛物线的函数关系式;
(2)如图①,设该抛物线的对称轴与x轴交于点D,试在对称轴上找出点P,使△CDP为等腰三角形,请直接写出满足条件的所有点P的坐标;
(3)如图②,连结AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合),过点E作EFAC交线段BC于点F,连结CE,记△CEF的面积为S,求出S的最大值及此时E点的坐标.
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将函数y=


3
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x
的图象向上平移2个单位,得到一个新函数,平移前后的两个函数图象分别与y轴交于O、A两点,与直线x=-


3
分别交于C、B两点.
(1)求这个新函数的解析式;
(2)判断以A、B、C、O四点为顶点的四边形形状,并说明理由;
(3)若(2)中的四边形(不包括边界)始终覆盖着二次函数y=x2-2bx+b2+
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的图象的一部分,求满足条件的实数b的取值范围.
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如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求抛物线的解析式及直线AC的解析式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作x轴的垂线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
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