(1)因为抛物线的顶点为(1,), 所以设抛物线的函数关系式为y=a ( x-1)2+, ∵抛物线与y轴交于点C(0,4), ∴a(0-1)2+=4. 解得:a=-. ∴所求抛物线的函数关系式为y=-(x-1)2+.
(2)如图①,过点C作CE⊥对称轴于点E, 当CD=CP1时,∵点C(0,4),顶点为(1,), ∴CD==,DE=4, ∴CP1=,EP1=4, ∴P1的坐标为:(1,8), 当CD=DP2时,P2的坐标为:(1,), 当CP3=DP3时, 设CP3=DP3=y, ∴CE2+EP=CP, ∴1+(4-y)2=y2, 解得:y=, ∴P3的坐标为:(1,), 当CD=DP4时, P4的坐标为:(1,-), 综上所述:符合条件的所有P点坐标是: (1,),(1,-),(1,8),(1,);
(3)令-(x-1)2+=0, 解得:x1=-2,x2=4,. ∴抛物线y=-(x-1)2+与x轴的交点为A(-2,0),B(4,0). 过点F作FM⊥OB于点M. ∵EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC. =. 又∵OC=4,AB=6, ∴MF=×CO=EB. 设E点坐标(x,0),则EB=4-x.MF=(4-x), ∴S=S△BCE-S△BEF=EB•CO-EB•MF, =EB(OC-MF)=(4-x)[4-(4-x)] =-x2+x+=-(x-1)2+3. Qa=-<0, ∴S有最大值. 当x=1时,S最大值=3. 此时点E的坐标为(1,0).
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