△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）求B；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值。

题型：不详难度：来源：

△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
（1）求B；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值。

答案

（1）
（2）

解析

(1)∵a=bcosC+csinB
∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB     ①
在三角形ABC中，A=－(B+C)
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC         ②
由①和②得sinBsinC=cosBsinC
而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB
又B(0，)，∴B=
(2)△ABC的面积S=acsinB=ac
由已知及余弦定理得
4=a²+c²－2accosB      ③
而a²+c²≥2ac       ④
联立③和④得ac≤，当且仅当a=c时等号成立．
因此△ABC面积的最大值为