如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,-2),交x轴于A、B两点,其中A(-1,0),直线l:x=m(m>1)与x轴交于D.(1)求二次

如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,-2),交x轴于A、B两点,其中A(-1,0),直线l:x=m(m>1)与x轴交于D.(1)求二次

题型:不详难度:来源:
如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,-2),交x轴于A、B两点,其中A(-1,0),直线l:x=m(m>1)与x轴交于D.
(1)求二次函数的解析式和B的坐标;
(2)在直线l上找点P(P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C(0,-2),
∴b=0,c=-2;
∵y=ax2+bx+c过点A(-1,0),
∴0=a+0-2,a=2,
∴抛物线的解析式为y=2x2-2.
当y=0时,2x2-2=0,
解得x=±1,
∴点B的坐标为(1,0);

(2)设P(m,n).
∵∠PDB=∠BOC=90°,
∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时,分两种情况:
①若△OCB△DBP,则
OB
DP
=
OC
DB

1
n
=
2
m-1

解得n=
m-1
2

由对称性可知,在x轴上方和下方均有一点满足条件,
∴此时点P坐标为(m,
m-1
2
)或(m,
1-m
2
)(舍);
②若△OCB△DPB,则
OB
DB
=
OC
DP

1
m-1
=
2
n

解得n=2m-2.
由对称性可知,在x轴上方和下方均有一点满足条件,
∴此时点P坐标为(m,2m-2)或(m,2-2m),
∵P在第一象限,m>1,
∴(m,2m-2)或(m,2-2m)舍
综上所述,满足条件的点P的坐标为:(m,
m-1
2
),(m,2m-2).

(3)假设在抛物线上存在第一象限内的点Q(x,2x2-2),使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形.
如图,过点Q作QE⊥l于点E.
∵∠DBP+∠BPD=90°,∠QPE+∠BPD=90°,
∴∠DBP=∠QPE.
在△DBP与△EPQ中,





∠BDP=∠PEQ=90°
∠DBP=∠EPQ
BP=PQ

∴△DBP≌△EPQ,
∴BD=PE,DP=EQ.
分两种情况:
①当P(m,
m-1
2
)时,
∵B(1,0),D(m,0),E(m,2x2-2),





m-1=2x2-2-
m-1
2
m-1
2
=m-x

解得





x1=1
m1=1





x2=
1
2
m2=0
(均不合题意舍去);
②当P(m,2(m-1))时,
∵B(1,0),D(m,0),E(m,2x2-2),





m-1=2x2-2-2(m-1)
2(m-1)=m-x

解得





x1=1
m1=1





x2=-
5
2
m2=
9
2
(均不合题意舍去);
综上所述,不存在满足条件的点Q.
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标为(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA,抛物线y=x2从点O沿OA方向平移,与直线x=2交于点P,顶点M到A点时停止移动.
(1)求线段OA所在直线的函数解析式;
(2)设抛物线顶点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示点P的坐标.
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(1)将抛物线y1=2x2向右平移2个单位,得到抛物线y2的图象,则y2=______;
(2)如图,P是抛物线y2对称轴上的一个动点,直线x=t平行于y轴,分别与直线y=x、抛物线y2交于点A、B.若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则t=______.
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如图,抛物线y=-
1
2
x2+bx+c
与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C,对称轴为直线x=
1
2
,OA=2
,OD平分∠BOC交抛物线于点D(点D在第一象限).
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BPD的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)点M是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点N,使A、D、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的M点坐标;如果不存在,请说明理由.
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如图,已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A.二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.
(1)求点A与点C的坐标;
(2)当四边形AOBC为菱形时,求函数y=ax2+bx的关系式.
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如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+2.6.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m.
(1)求y与x的关系式;(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.
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