如图所示,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,直线BD的函数表达式为y=-3x+33,抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E.(1)求A

如图所示,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,直线BD的函数表达式为y=-3x+33,抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E.(1)求A

题型:不详难度:来源:
如图所示,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,直线BD的函数表达式为y=-


3
x+3


3
,抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E.
(1)求A、B、C三个点的坐标;
(2)点P为线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M,以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N,分别连接AN、BM、MN.
①求证:AN=BM;
②在点P运动的过程中,四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值?并求出该最大值或最小值.
答案
(1)令-x2+2x+3=0,
解得:x1=-1,x2=3,
∴A(-1,0),B(3,0)(2分)
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,
将x=1代入y=-


3
x+3


3

得y=2


3

∴C(1,2


3
);(3分)

(2)①在Rt△ACE中,tan∠CAE=
CE
AE
=


3

∴∠CAE=60°,
由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线,
∴AC=BC,
∴△ABC为等边三角形,(4分)
∴AB=BC=AC=4,∠ABC=∠ACB=60°,
又∵AM=AP,BN=BP,
∴BN=CM,
∵在△ABN与△BCM中,





AB=BC
∠ABN=∠BCM
BN=CM

∴△ABN≌△BCM(SAS),
∴AN=BM;(5分)
②四边形AMNB的面积有最小值.(6分)
设AP=m,四边形AMNB的面积为S,
由①可知AB=BC=4,BN=CM=BP,S△ABC=
1
2
×4×4×


3
2
=4


3

∴CM=BN=BP=4-m,CN=m,
过M作MF⊥BC,垂足为F
则MF=MC•sin60°=


3
2
(4-m)

∴S△CMN=
1
2
CN•MF
=
1
2
m


3
2
(4-m)
=-


3
4
m2+


3
m
,(7分)
∴S=S△ABC-S△CMN
=4


3
-(-


3
4
m2+


3
m

=


3
4
(m-2)2+3


3
(8分)
∴m=2时,S取得最小值3


3
.(9分)
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,Rt△AOB的顶点坐标分别为A(-2,0),O(0,0),B(0,2),把Rt△AOB绕着点O顺时针旋转90°得到Rt△BOC,(点A旋转到点B的位置),抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过B,C两点,与x轴的另一个交点为点D,顶点为点P,对称轴为直线x=3,
(1)求该抛物线的解析式;
(2)连接BC,CP,PD,BD,求四边形PCBD的面积;
(3)在抛物线上是否存在一点M,使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
1
3
?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.
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如图所示,在平面直角坐标中,抛物线的顶点P到x轴的距离是4,抛物线与x轴相交于O、M两点,OM=4;矩形ABCD的边BC在线段OM上,点A、D在抛物线上.
(1)请写出P、M两点坐标,并求这条抛物线的解析式;
(2)设矩形ABCD的周长为l,求l的最大值.
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二次函数y=
2
3
x2
的图象如图所示,点A0位于坐标原点,点A1,A2,A3,…,A2011在y轴的正半轴上,点B1,B2,B3,…,B2011在二次函数y=
2
3
x2
位于第一象限的图象上,若△A0B1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…,△A2010B2011A2011都为等边三角形,则△A0B1A1的边长=______,△A2010B2011A2011的边长=______.
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二次函数y=
2
3
x2
的图象如图所示,点A0位于坐标原点,A1,A2,A3,…,A2009在y轴的正半轴上,B1,B2,B3,…,B2009在二次函数y=
2
3
x2
第一象限的图象上,若△A0B1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…,△A2008B2009A2009都为等边三角形,计算出△A2008B2009A2009的边长为______.
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已知抛物线y=mx2-(m-5)x-5(m>0)与x轴交于两点,A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2),与y轴交于点C,且AB=6.
(1)求抛物线与直线BC的解析式;
(2)在所给出的直角坐标系中作出抛物线的图象.
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