如图,已知抛物线y=-23x2+43x+2的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D.点M从O点出发,以每秒1个单位长度的速度向B

如图,已知抛物线y=-23x2+43x+2的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D.点M从O点出发,以每秒1个单位长度的速度向B

题型:不详难度:来源:
如图,已知抛物线y=-
2
3
x2+
4
3
x+2的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D.点M从O点出发,以每秒1个单位长度的速度向B运动,过M作x轴的垂线,交抛物线于点P,交BC于Q.
(1)求点B和点C的坐标;
(2)设当点M运动了x(秒)时,四边形OBPC的面积为S,求S与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(3)在线段BC上是否存在点Q,使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.
答案
(1)把x=0代入y=-
2
3
x2+
4
3
x+2得点C的坐标为C(0,2)
把y=0代入y=-
2
3
x2+
4
3
x+2得点B的坐标为B(3,0)

(2)连接OP,设点P的坐标为P(x,y)
S四边形OBPC=S△OPC+S△OPB=
1
2
×2×x+
1
2
×3×y
=x+
3
2
-
2
3
x2+
4
3
x+2

∵点M运动到B点上停止,
∴0≤x≤3
∴S=-(x-
3
2
2+
21
4
(0≤x≤3)

(3)存在.
BC=


OB2+OC2
=


13

①若BQ=DQ
∵BQ=DQ,BD=2
∴BM=1
∴OM=3-1=2
tan∠OBC=
QM
BM
=
OC
OB
=
2
3

∴QM=
2
3

所以Q的坐标为Q(2,
2
3
).
②若BQ=BD=2
∵△BQM△BCO,
BQ
BC
=
QM
CO
=
BM
BO

2


13
=
QM
2

∴QM=
4


13
13

BQ
BC
=
BM
OB

2


13
=
BM
3

∴BM=
6


13
13

∴OM=3-
6


13
13

所以Q的坐标为Q(3-
6


13
13
4


13
13
).
综上所述,Q的坐标为Q(2,
2
3
)或Q(3-
6


13
13
4


13
13
).
举一反三
如图,抛物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1,0),C(0,
3
2
)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为M,点P为线段OB上一动点(不与点B重合),点Q在线段MB上移动,且∠MPQ=45°,设线段OP=x,MQ=


2
2
y2,求y2与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(3)在同一平面直角坐标系中,两条直线x=m,x=n分别与抛物线交于点E、G,与(2)中的函数图象交于点F、H.问四边形EFHG能否成为平行四边形?若能,求m、n之间的数量关系;若不能,请说明理由.
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有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天.如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购这种活蟹1000kg放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一天需支出各种费用为400元,且平均每天还有10kg蟹死去,假定死蟹均于当天全部销售出,售价都是每千克20元.
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元,写出p关于x的函数关系式;
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售,并记1000kg蟹的销售总额为Q元,写出Q关于x的函数关系式;
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=Q-收购总额).
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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-6,0)、B(2,0),与y轴交于点C(0,-6).
(1)求此抛物线的函数表达式,写出它的对称轴;
(2)若在抛物线的对称轴上存在一点M,使△MBC的周长最小,求点M的坐标;
(3)若点P(0,k)为线段OC上的一个不与端点重合的动点,过点P作PDCM交x于点D,连接MD、MP,设△MPD的面积为S,求当点P运动到何处时S的值最大?
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如图,在直角坐标系中,已知点A(


3
,0),B(-


3
,0),以点A为圆心,AB为半径的圆与x轴相交于点B,C,与y轴相交于点D,E.
(1)若抛物线y=
1
3
x2+bx+c经过C,D两点,求抛物线的解析式,并判断点B是否在该抛物线上;
(2)在(1)中的抛物线的对称轴上求一点P,使得△PBD的周长最小;
(3)设Q为(1)中的抛物线的对称轴上的一点,在抛物线上是否存在这样的点M,使得四边形BCQM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
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近几年,被称为“园林城市,生态家园”的宿迁旅游业得到长足的发展,到宿迁观光旅游的客人越来越多,“真如禅寺”景点每天都吸引大量的游客前来观光.事实表明,如果游客过多,不利于保护珍贵文物,为了实施可持续发展,兼顾社会效益和经济效益,该景点拟采取浮动门票价格的方法来控制游客人数.已知每张门票原价为40元,现设浮动门票为每张x元,且40≤x≤70,经市场调研发现一天游览人数y与票价x之间存在着如图所示的一次函数关系.
(1)根据图象,求y与x之间的函数关系式;
(2)设该景点一天的门票收入为W元.
①试用x代数式表示W;
②试问:当门票定为多少时,该景点一天的门票收入最高?最高门票收入是多少?
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