如图,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.(1)求抛物线的顶点坐标;(2)设直线y=x+3与y轴的交点是D,在线段AD上任意取一点E(

如图,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.(1)求抛物线的顶点坐标;(2)设直线y=x+3与y轴的交点是D,在线段AD上任意取一点E(

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如图,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)设直线y=x+3与y轴的交点是D,在线段AD上任意取一点E(不与A、D重合),经过A、B、E三点的圆交直线AC于点F,试判断△BEF的形状.
答案
(1)∵y=x2+2x-3,
∴y=(x+1)2-4
∴顶点坐标是(-1,-4)
(2)△BEF是等腰直角三角形.
连接BE、BF、EF得到△BEF.
∵y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点,
∴y=0时,x2+2x-3=0,求得:
x1=-3,x2=1,
∴A(-3,0).
当x=0时,y=-3,
∴C(0,-3).
∵直线y=x+3与y轴的交点是D,
∴x=0时,y=3,
∴D(0,3),
∴OA=OC=OD=3,

∴∠EAB=∠FAB=45°
∵∠EAB=∠EFB,∠FAB=∠FEB
∴∠EFB=∠FEB=45°
∴∠EBF=90°,EB=FB,
∴△BEF是等腰直角三角形.
举一反三
有一条长7.2米的木料,做成如图所示的“日”字形的窗框,问窗的高和宽各取多少米时,这个窗的面积最大?(不考虑木料加工时损耗和中间木框所占的面积)
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市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品,如果以30元/千克销售,那么每天可售出400千克.由销售经验知,每天销售量y(千克)与销售单价x(元)(x≥30)存在如下图所示的一次函数关系.
(1)试求出y与x的函数关系式;
(2)设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润为P元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润?最大利润是多少?
(3)根据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过4480元,现该超市经理要求每天利润不得低于4180元,请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(直接写出).
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每年六七月份我市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.
(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?
(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元/千克)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?
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二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,下列几个结论:
①对称轴为x=2;②当y>0时,x<0或x>4;③函数解析式为y=-x(x-4);④当x≤0时,y随x的增大而增大.其中正确的结论有______(填写序号)
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如图,在平面直角坐标系中有一矩形ABCO(O为原点),点A、C分别在x轴、y轴上,且C点坐标为(0,6),将△BCD沿BD折叠(D点在OC上),使C点落在OA边的E点上,并将△BAE沿BE折叠,恰好使点A落在BD边的F点上.
(1)求BC的长,并求折痕BD所在直线的函数解析式;
(2)过点F作FG⊥x轴,垂足为G,FG的中点为H,若抛物线y=ax2+bx+c经过B、H、D三点,求抛物线解析式;
(3)点P是矩形内部的点,且点P在(2)中的抛物线上运动(不含B、D点),过点P作PN⊥BC,分别交BC和BD于点N、M,是否存在这样的点P,使S△BNM=S△BPM?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
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