如图,在平面直角坐标系中,已知OB=2,点A和点B关于N(0,-2)成中心对称,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点.(1)求抛物线的函数表达式;(2

如图,在平面直角坐标系中,已知OB=2,点A和点B关于N(0,-2)成中心对称,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点.(1)求抛物线的函数表达式;(2

题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,已知OB=2,点A和点B关于N(0,-2)成中心对称,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P是x轴上的一动点,从点O出发沿射线OB方向运动,圆P半径为
3


2
4
,速度为每秒1个单位,试求几秒后圆P与直线AB相切;
(3)在此抛物线上,是否存在点P,使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)设点A的坐标为(x,y).
∵点A和点B(2,0)关于N(0,-2)成中心对称,
∴N为线段AB的中点,
x+2
2
=0,
y+0
2
=-2,
解得x=-2,y=-4,
∴点A的坐标为(-2,-4).
∵抛物线y=ax2+bx+c经过A、O、B三点,





4a-2b+c=-4
c=0
4a+2b+c=0
,解得





a=-
1
2
b=1
c=0

∴抛物线的函数表达式为y=-
1
2
x2+x;

(2)如图,设x秒后圆P与直线AB相切,则OP=x.分两种情况:
①点P在点B左边时,设圆P与直线AB切于点M,则∠BMP=90°,PM=
3


2
4

在△BMP与△BON中,





∠MBP=∠OBN
∠BMP=∠BON=90°

∴△BMP△BON,
MP
ON
=
BP
BN
,即
3


2
4
2
=
2-x
2


2

解得x=
1
2

1
2
秒后圆P与直线AB相切;
②点P在点B右边时,设圆P与直线AB切于点Q,则∠BQP=90°,PQ=
3


2
4

在△BQP与△BON中,





∠PBQ=∠NBO
∠BQP=∠BON=90°

∴△BQP△BON,
PQ
ON
=
BP
BN
,即
3


2
4
2
=
x-2
2


2

解得x=
7
2

7
2
秒后圆P与直线AB相切;
综上所述,
1
2
秒或
7
2
秒后圆P与直线AB相切;

(3)点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形时,分三种情况:
①当P1与A点关于抛物线对称轴对称时,OBAP1,AP1BO为梯形,此时P1(4,-4);
②设存在点P2,使OP2AB.
设直线AB的解析式为y=kx+m,
∵A(-2,-4),B(2,0),





-2k+b=-4
2k+b=0
,解得





k=1
b=-2

∴直线AB的解析式为y=x-2,
∴OP2的解析式为y=x.





y=x
y=-
1
2
x2+x
,解得





x=0
y=0

∴P2(0,0),与原点O重合,不合题意,舍去;
③设存在点P3,使BP3OA.
设直线OA的解析式为y=nx,
∵A(-2,-4),
∴-2n=-4,解得n=2,
∴直线OA的解析式为y=2x,
∴BP3的解析式为y=2x-4.





y=2x-4
y=-
1
2
x2+x
,解得





x=-4
y=-12

∴P3(-4,-12),
综上所述,存在点P(4,-4)或(-4,-12),使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形.
举一反三
如图,抛物线y=-
3
8
x2-
3
4
x+3
与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
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某涵洞的截面是抛物线型,如图所示,在图中建立的直角坐标系中,抛物线的解析式为y=-
1
4
x2,当涵洞水面宽AB为12米时,水面到桥拱顶点O的距离为______米.
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松花江大桥的一个桥拱为抛物线形状,拱顶A离桥面50m,桥面上拱形钢梁之间的距离BC=120m,建立如图所示的直角坐标系.
(1)写出A,B,C三点的坐标;
(2)求该抛物线的解析式.
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今年,6月12日为端午节.在端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况.请根据小丽提供的信息,解答小华的问题.
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如图,已知抛物线的顶点坐标是(2,-1),且经过点A(5,8)
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设该抛物线与y轴相交于点B,与x轴相交于C、D两点(点C在点D的左边),试求点B、C、D的坐标;
(3)设点P是x轴任一点,连接AP、BP.试求当AP+BP取得最小值时点P的坐标.
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