如图,抛物线与y轴交于点A(0,4),与x轴交于B、C两点.其中OB、OC是方程的x2-10x+16=0两根,且OB<OC.(1)求抛物线的解析式;(2)直线A

如图,抛物线与y轴交于点A(0,4),与x轴交于B、C两点.其中OB、OC是方程的x2-10x+16=0两根,且OB<OC.(1)求抛物线的解析式;(2)直线A

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如图,抛物线与y轴交于点A(0,4),与x轴交于B、C两点.其中OB、OC是方程的x2-10x+16=0两根,且OB<OC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)直线AC上是否存在点D,使△BCD为直角三角形.若存在,求所有D点坐标;反之说理;
(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点(A点除外),连PA、PC,若设△PAC的面积为S,P点横坐标为t,则S在何范围内时,相应的点P有且只有1个.
答案
(1)解方程x2-10x+16=0,
得x1=2,x2=8,
则B(-2,0),C(8,0),
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,将A、B、C三点坐标代入抛物线得,





c=4
4a-2b+c=0
64a+8b+c=0

解得





a=-
1
4
b=1
1
2
c=4

故抛物线的解析式为y=-
1
4
x2+
3
2
x+4;

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,将A、C两点坐标代入得,





b=4
8k+b=0

解得





k=-
1
2
b=4

故直线AC的解析式为y=-
1
2
x+4;
直线AC上存在点D,使△BCD为直角三角形:
①∠DBC=90°时,x=-2,y=-
1
2
×(-2)+4=5,则D点坐标为(-2,5);
②∠BDC=90°时,设直线BD的解析式为y=2x+b1,则2×(-2)+b1=0,解得b1=4,故直线AC的解析式为y=2x+4;
联立两条直线的解析式





y=-
1
2
x+4
y=2x+4
,解得





x=0
y=4
,则D点坐标为(0,4);
综上所述D点坐标为(-2,5)或(0,4);

(3)P在抛物线AC上面积的最大值为16,P在抛物线AB上面积的最大值为20,
则S的取值范围为16<S<20.
举一反三
某水果批发商场销售一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下.若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.
(1)现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
(2)每千克水果涨价多少元时,商场每天获得的利润最大?获得的最大利润是多少元?
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一直线y1=x+b与抛物线y2=x2+c的交点为A(3,5)和B.
(1)求出b、c和点B的坐标;
(2)画出草图,根据图象同答:当x在什么范围时y1≤y2
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已知⊙P的圆心坐标为(1.5,0),半径为2.5,⊙P与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴的负半轴交于点D.
(1)求D点的坐标;
(2)求过A、B、D三点的抛物线的解析式;
(3)设平行于x轴的直线交此抛物线于E、F两点,问:是否存在以线段EF为直径的圆O"恰好与⊙P相外切?若存在,求出其半径r及圆心O"的坐标;若不存在,请说明理由.
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若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2-4x-1有相同的顶点,并且在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,则所求二次函数的解析式为(  )
A.y=-x2+2x+4B.y=-ax2-2ax-3(a>0)
C.y=-2x2-4x-5D.y=ax2-2ax+a-3(a<0)
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某商店将进价为100元的某商品按120元的价格出售,可卖出300件;若商店在120元的基础上每涨价1元,就要少卖10件,而每降价1元,就可多卖30件.
(1)求所获利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式;
(2)为了获取最大利润,商店应将每件商品的售价定为多少元?
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