(1)∵C(0,3), ∴OC=3, 又∵S△ABC=AB•OC=6, ∴AB=4; ∵A为(-1,0), ∴B为(3,0), 设抛物线解析式y=a(x+1)(x-3) 将C(0,3)代入求得a=-1, ∴y=-x2+2x+3.
(2)抛物线的对称轴为直线x=-=1, 由B(3,0),C(0,3),得直线BC解析式为:y=-x+3; ∵对称轴x=1与直线BC:y=-x+3相交于点M, ∴M为(1,2); 可直接设BN的长为未知数. 设N(t,0),当△MNB∽△ACB时, ∴= 即=即t=0, ∵△MNB∽△CAB时,∴=⇒= 得t=, 所以BN的长为3或.
(3)存在.由y=-x2+2x+3得,抛物线的对称轴为直线x=-=1,顶点D为(1,4); ①当PD=PC时,设P点坐标为(x,y)根据勾股定理, 得x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2即y=4-x, 又P点(x,y)在抛物线上,4-x=-x2+2x+3, 即x2-3x+1=0, 解得x=; ∴y=4-x=或即点P坐标为(,)或(,); ②当CD=PD时,即P,C关于对称轴对称, 此时P的纵坐标为3,即3=-x2+2x+3, 解得x1=2,x2=0(舍去), ∴P为(2,3); ③当PC=CD时,P只能在C点左边的抛物线上,所以不考虑; ∴符合条件的点P坐标为(,),(,)或(2,3). |