已知函数f(x)=-x3+3x2+9x(Ⅰ)求曲线y=f(x)在(1,11)处的切线方程;(Ⅱ)求函数的单调区间(Ⅲ)求函数在[-2,2]上的最值.
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已知函数f(x)=-x3+3x2+9x (Ⅰ)求曲线y=f(x)在(1,11)处的切线方程; (Ⅱ)求函数的单调区间 (Ⅲ)求函数在[-2,2]上的最值. |
答案
(Ⅰ)因为f"(x)=-3x2+6x+9, 所以切线的斜率为f"(1)=-3+6+9=12 所以切线方程y-11=12(x-1), 即12x-y-1=0. (Ⅱ)令f"(x)=-3x2+6x+9>0, 得-1<x<3, 所以函数f(x)的单调增区间为(-1,3); 令f"(x)=-3x2+6x+9<0, 得x<-1或x>3, 所以函数f(x)的单调减区间为(-∞,-1)和(3,+∞). (Ⅲ)因为在(-2,-1)上,f"(x)<0,在(-1,2)上,f"(x)>0, 所以f(x)在(-2,-1)单调递减, 在(-1,2)上单调递增. 所以x=-1时,[f(x)]min=f(-1)=-5. 当x=2时,[f(x)]max=22. |
举一反三
对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数)对任给的正数m, 存在相应的x0∈D使得当x∈D且x>x0时,总有 | 0<f(x)-h(x)<m | 0<h(x)-g(x)<m |
| | ,则称直线l:y=ka+b为曲线y=f(x)和y=g(x)的“分渐进性”.给出定义域均为D={x|x>1}的四组函数如下: ①f(x)=x2,g(x)=②f(x)=10-x+2,g(x)=③f(x)=,g(x)=④f(x)=,g(x)=2(x-1-e-x) 其中,曲线y=f(x)和y=g(x)存在“分渐近线”的是( ) |
已知函数f(x)=1+sinx,(x∈[0,2π))图象在点P处的切线与函数g(x)=(+1)图象在点Q处的切线平行,则直线PQ与两坐标轴所围成的三角形的面积为______. |
若曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a取值范围是______. |
数列{an}(n∈N*)中,a1=a,an+1是函数fn(x)=x3-(3an+n2)x2+3n2anx极小值点.当a=0时,求通项an. |
已知曲线C:f(x)=sin(x-)+ex+2,则在x=0处切线方程为 ______. |
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