对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数)对任给的正数m,存在相应的x0∈D使得当x∈D且x>x0时,总有0<f
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对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数)对任给的正数m,存在相应的x0∈D使得当x∈D且x>x0时,总有0<f
题型:福建
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对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数)对任给的正数m,
存在相应的x
0
∈D使得当x∈D且x>x
0
时,总有
0<f(x)-h(x)<m
0<h(x)-g(x)<m
,则称直线l:y=ka+b为曲线y=f(x)和y=g(x)的“分渐进性”.给出定义域均为D={x|x>1}的四组函数如下:
①f(x)=x
2
,g(x)=
x
②f(x)=10
-x
+2,g(x)=
2x-3
x
③f(x)=
x
2
+1
x
,g(x)=
xlnx+1
lnx
④f(x)=
2
x
2
x+1
,g(x)=2(x-1-e
-x
)
其中,曲线y=f(x)和y=g(x)存在“分渐近线”的是( )
A.①④
B.②③
C.②④
D.③④
答案
f(x)和g(x)存在分渐近线的充要条件是x→∞时,f(x)-g(x)→0.
对于①f(x)=x
2
,g(x)=
x
,当x>1时便不符合,所以①不存在;
对于②f(x)=10
-x
+2,g(x)=
2x-3
x
肯定存在分渐近线,因为当时,f(x)-g(x)→0;
对于③f(x)=
x
2
+1
x
,g(x)=
xlnx+1
lnx
,
f(x)-g(x)=
1
x
-
1
lnx
,
设λ(x)=x-lnx,
λ
n
(x)=
1
x
2
>0,且lnx<x,
所以当x→∞时x-lnx越来愈大,从而f(x)-g(x)会越来越小,不会趋近于0,
所以不存在分渐近线;
对于④f(x)=
2
x
2
x+1
,g(x)=2(x-1-e
-x
),当x→0时,
f(x)-g(x)=
-2
1+
1
x
+2+
2
e
x
→0
,
因此存在分渐近线.故,存在分渐近线的是②④选C
故选C
举一反三
已知函数f(x)=1+sinx,(x∈[0,2π))图象在点P处的切线与函数
g(x)=
x
(
x
3
+1)
图象在点Q处的切线平行,则直线PQ与两坐标轴所围成的三角形的面积为______.
题型:不详
难度:
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若曲线f(x)=ax
3
+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a取值范围是______.
题型:不详
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数列{a
n
}(n∈N
*
)中,a
1
=a,a
n+1
是函数fn(x)=
1
3
x
3
-
1
2
(3a
n
+n
2
)x
2
+3n
2
a
n
x极小值点.当a=0时,求通项a
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知曲线C:
f(x)=sin(x-
π
2
)+
e
x
+2
,则在x=0处切线方程为 ______.
题型:不详
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已知曲线
y=
1
3
题型:不详
难度:
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