数列{an}(n∈N*)中,a1=a,an+1是函数fn(x)=13x3-12(3an+n2)x2+3n2anx极小值点.当a=0时,求通项an.

数列{an}(n∈N*)中,a1=a,an+1是函数fn(x)=13x3-12(3an+n2)x2+3n2anx极小值点.当a=0时,求通项an.

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数列{an}(n∈N*)中,a1=a,an+1是函数fn(x)=
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x3-
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(3an+n2)x2+3n2anx极小值点.当a=0时,求通项an
答案
由题意可知,当a=0时,a1=0,则3a1<12
由题设知f′n(x)=x2-(3an+n2)x+3n2an=(x-3an)(x-n2).
令f′n(x)=0,得x1=3an,x2=n2
若3an<n2,则
当x<3an时,f′n(x)>0,fn(x)单调递增;
当3an<x<n2时,f′n(x)<0,fn(x)单调递减;
当x>n2时,f′n(x)>0,fn(x)单调递增.
故fn(x)在x=n2取得极小值.
所以a2=12=1
因为3a2=3<22,则,a3=22=4
因为3a3=12>33,则a4=3a3=3×4,
又因为3a4=36>42,则a5=3a4=32×4,
由此猜测:当n≥3时,an=4×3n-3
下面先用数学归纳法证明:当n≥3时,3an>n2
事实上,当n=3时,由前面的讨论知结论成立.
假设当n=k(k≥3)时,3ak>k2成立,则由(2)知,ak+1=3ak>k2
从而3ak+1-(k+1)2>3k2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-1>0,
所以3ak+1>(k+1)2
故当n≥3时,3an>n2成立.
于是,当n≥3时,an+1=3an,而a3=4,因此an=4×3n-3
综上所述,当a=0时,a1=0,a2=1,an=4×3n-3(n≥3).
举一反三
已知曲线C:f(x)=sin(x-
π
2
)+ex+2
,则在x=0处切线方程为 ______.
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已知曲线y=
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已知函数f(x)=x-
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sin2x
则曲线y=f(x)在点(
π
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,f(
π
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))
处的切线方程为 ______.
曲线y=x3-2x2-x+4在点A(1,2)的切线方程为______.
函数f(x)=ex在点(0,1)处的切线方程是______.