(1)∵拋物线与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0), ∴x1、x2是关于x的方程-x2-2(a-1)x-(a2-2a)=0的解; 方程可化简为x2+2(a-1)x+(a2-2a)=0; 解方程,得x=-a或x=-a+2; ∵x1<x2,-a<-a+2,(1分) ∴x1=-a,x2=-a+2 ∴A、B两点的坐标分别为A(-a,0),B(-a+2,0)(2分)
(2)∵AB=2,顶点C的纵坐标为,(3分) ∴△ABC的面积等于;(4分)
(3)∵x1<1<x2, ∴-a<1<-a+2 ∴-1<a<1;(5分) ∵a是整数, ∴a=0, 即所求拋物线的解析式为y=-x2+2x;(6分) 解法一:此时顶点C的坐标为C(1,)如图,作CD⊥AB于D,连接CQ,
则AD=1,CD=,tan∠BAC=, ∴∠BAC=60° 由拋物线的对称性可知△ABC是等边三角形; 由△APM和△BPN是等边三角形,线段MN的中点为Q可得, 点M、N分别在AC和BC边上,四边形PMCN的平行四边形, C、Q、P三点共线,且PQ=PC;(7分) ∵点P线段AB上运动的过程中,P与A、B两点不重合, DC≤PC<AC,DC=,AC=2, ∴≤PQ<1;(8分)
解法二:设点P的坐标为P(x,0)(0<x<2)如图,作MM1⊥AB于M1,NN1⊥AB于N1
∵△APM和△BPN是等边三角形,且都在x轴上方, ∴AM=AP=x,BN=BP=2-x,∠MAP=60°,∠NBP=60° ∴AM1=AM•cos∠MAB=, MM1=AM•sin∠MAB=, BN1=BN•cos∠NBP=, NN1=BN•sin∠NBP= ∴AN1=AB-BN1=2-= ∴M、N两点的坐标分)别为M(,),N(,) 可得线段MN的中点Q的坐标为Q(,) 由勾股定理得PQ==(7分) ∵点P在线段AB上运动的过程中,P与A、B两点不重合,0<x<2, ∴3≤(x-1)2+3<4, ∴≤PQ<1.(8分) |