如图,在直角坐标系中,正方形ABOD的边长为a,O为原点,点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上,直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上的一点C(-3

如图,在直角坐标系中,正方形ABOD的边长为a,O为原点,点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上,直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上的一点C(-3

题型:不详难度:来源:
如图,在直角坐标系中,正方形ABOD的边长为a,O为原点,点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上,直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上的一点C(-
3
5
a
,0)且与OE平行,现正方形以每秒
a
10
的速度匀速沿x轴正方向平行移动,设运动时间为t秒,正方形被夹在直线OE和CF间的部分的面积为S.
(1)当0≤t<4时,写出S与t的函数关系式;
(2)当4≤t≤5时,写出S与t的函数关系式,在这个范围内S有无最大值?若有,请求出最大值,若没有请说明理由.
答案
(1)当0≤t<4时,如图1,由图可知OM=
a
10
t

设经过t秒后,正方形移动到A1B1MN
∵当t=4时,BB1=OM=
a
10
×4=
2
5
a
∴点B1在C点左侧
∴夹在两平行线间的部分是多边形COQNG,其面积为:
平行四边形COPG-△NPQ的面积.
∵CO=
3
5
a
,OD=a
∴四边形COPG面积=
3
5
a2
又∵点P的纵坐标为a,代入y=2x得P(
a
2
,a)
∴DP=
a
2
,NP=
a
2
-
a
10
t
由y=2x知:NQ=2NP
∴△NPQ面积=
1
2
•NP•NQ=(
a
2
-
a
10
t)2
∴S=
3
5
a2-(
a
2
-
a
10
t)2=
3
5
a2-
a2
100
(5-t)2=
a2
100
[60-(5-t)2];

(2)当4≤t≤5时,如图2,这时正方形移动到A1B1MN
∵当4≤t≤5时,
2
5
a
≤BB1
1
2
a
,点B1在C、O点之间
∴夹在两平行线间的部分是B1OQNGR,
即平行四边形COPG被切掉了两个小三角形△NPQ和△CB1R,其面积为:
平行四边形COPG的面积-△NPQ的面积-△CB1R的面积
与(1)同理,OM=
a
10
t,NP=
a
2
-
a
10
t,S△NPQ=(
a
2
-
a
10
t)2
∵CO=
3
5
a
,CM=
3
5
a+
a
10
t,B1M=a,
∴CB1=CM-B1M=
3
5
a+
a
10
t-a=
a
10
t-
2
5
a,
∴S△CB1R=
1
2
CB1•B1R=(CB12=(
a
10
t-
2
5
a)2,
∴S=
3
5
a2-(
1
2
a-
a
10
t)2-(
a
10
t-
2
5
a)2=
3
5
a2-
a2
100
[2(t-
9
2
2+
1
2
],
∴当t=
9
2
时,S有最大值,Smax=
119
200
a2
举一反三
已知抛物线y=
1
4
x2+1(如图所示).
(1)填空:抛物线的顶点坐标是(______,______),对称轴是______;
(2)已知y轴上一点A(0,2),点P在抛物线上,过点P作PB⊥x轴,垂足为B.若△PAB是等边三角形,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,点M在直线AP上.在平面内是否存在点N,使四边形OAMN为菱形?若存在,直接写出所有满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,二次函数y=x2+bx+c图象与x轴交于A,B两点(A在B的左边),与y轴交于点C,顶点为M,△MAB为直角三角形,图象的对称轴为直线x=-2,点P是抛物线上位于A,C两点之间的一个动点,则△PAC的面积的最大值为(  )
A.
27
4
B.
11
2
C.
27
8
D.3

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如图,一次函数y=x+2的图象分别交轴、轴于A、B两点,O1为以OB为边长的正方形OBCD的对角线的交点.两动点P、Q同时从A点出发在四边形ABCD上运动,其中动点P以每秒


2
个单位长度的速度沿A→B→A运动后停止,动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动.AO1交于轴于点E,设P、Q运动的时间为t秒.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)求出E点的坐标和S△ABE的值;
(3)当Q点运动在折线AD→DC上时,是否存在某一时刻t(秒),使得S△ABE:S△APQ=4:3?若存在,请确定t的值;若不存在,请说明理由.
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如图所示,某建筑物有一抛物线形的大门,小强想知道这道门的高度.他先测出门的宽度AB=8m,然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁,并测得AC=1m.小强画出了如图的草图,请你帮他算一算门的高度OE(精确到0.1m).
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已知抛物线y=-x2-2x+a(a>0)与y轴相交于点A,顶点为M.直线y=
1
2
x+
1
2
a
与x轴相交于B点,与直线AM相交于N点;直线AM与x轴相交于C点
(1)求M的坐标与MA的解析式(用字母a表示);
(2)如图,将△NBC沿x轴翻折,若N点的对应点N′恰好落在抛物线上,求a的值;
(3)在抛物线y=-x2-2x+a(a>0)上是否存在一点P,使得以P、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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