(1)顶点坐标是(0,1),对称轴是y轴(或x=O).
(2)∵△PAB是等边三角形, ∴∠ABO=90°-60°=30°. ∴AB=20A=4. ∴PB=4. 解法一:把y=4代入y=x2+1, 得x=±2. ∴P1(2,4),P2(-2,4). 解法二:∴OB==2 ∴P1(2,4). 根据抛物线的对称性,得P2(-2,4).
(3)∵点A的坐标为(0,2),点P的坐标为(2,4) ∴设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b ∴ 解得: ∴解析式为:y=x+2 设存在点N使得OAMN是菱形, ∵点M在直线AP上, ∴设点M的坐标为:(m,m+2) 如图,作MQ⊥y轴于点Q,则MQ=m,AQ=OQ-OA=m+2-2=m ∵四边形OAMN为菱形, ∴AM=AO=2, ∴在直角三角形AMQ中,AQ2+MQ2=AM2, 即:m2+(m)2=22 解得:m=± 代入直线AP的解析式求得y=3或1, 当P点在抛物线的右支上时,分为两种情况: 当N在右图1位置时, ∵OA=MN, ∴MN=2, 又∵M点坐标为(,3), ∴N点坐标为(,1),即N1坐标为(,1). 当N在右图2位置时, ∵MN=OA=2,M点坐标为(-,1), ∴N点坐标为(-,-1),即N2坐标为(-,-1). 当P点在抛物线的左支上时,分为两种情况: 第一种是当点M在线段PA上时(PA内部)我们求出N点坐标为(-,1); 第二种是当M点在PA的延长线上时(在第一象限)我们求出N点坐标为(,-1) ∴存在N1(,1),N2(-,-1)N3(-,1),N4(,-1)使得四边形OAMN是菱形.
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