如图已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).设抛物线的顶点为D,求解下列问题:(1)求抛物线的解析式

如图已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).设抛物线的顶点为D,求解下列问题:(1)求抛物线的解析式

题型:不详难度:来源:
如图已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).设抛物线的顶点为D,求解下列问题:
(1)求抛物线的解析式和D点的坐标;
(2)过点D作DFy轴,交直线BC于点F,求线段DF的长,并求△BCD的面积;
(3)能否在抛物线上找到一点Q,使△BDQ为直角三角形?若能找到,试写出Q点的坐标;若不能,请说明理由.
答案
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),
把(0,3)代入,
解得a=-1,
解析式为y=-x2+2x+3,
则点D的坐标为(1,4),

(2)设直线BC的解析式为y=kx+3,把B(3,0)代入,
解得k=-1,所以F(1,2),
∴DF=4-2=2,
△BCD的面积=
1
2
×2×1+
1
2
×2×2=3


(3)①点C即在抛物线上,CD=


2
,BC=3


2
BD=2


5

∵CD2+BC2=20,BD2=20,
∴CD2+BC2=BD2
∴∠BCD=90°,
这时Q与C点重合点Q坐标为Q(0,3),
②如图②,若∠DBQ为90°,作QP⊥x轴于P,DH⊥x轴于H
可证Rt△DHBRt△BPQ,
DH
BP
=
HB
PQ

则点Q坐标(k,-k2+2k+3),
4
3-k
=
2
k2-2k-3

化简为2k2-3k-9=0,
即(k-3)(2k+3)=0,
解之为k=3或k=-
3
2

k=-
3
2
得Q坐标:Q(-
3
2
,-
9
4
)

③若∠BDQ为90°,
如图③,延长DQ交y轴于M,
作DE⊥y轴于E,DH⊥x轴于H,
可证明△DEM△DHB,
DE
DH
=
EM
HB

1
4
=
EM
2

EM=
1
2

∵点M的坐标为(0,
7
2
)
,DM所在的直线方程为y=
1
2
x+
7
2

y=
1
2
x+
7
2
与y=-x2+2x+3的解为x=
1
2

得交点坐标Q为(
1
2
15
4
)

即满足题意的Q点有三个,(0,3),(-
3
2
,-
9
4
),(
1
2
15
4
).
举一反三
如图,二次函数y=-x2+bx+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点A(-2,0).
(1)求此二次函数的解析式及点B的坐标;
(2)在抛物线上有一点P,满足S△AOP=3,请直接写出点P的坐标.
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已知抛物线经过一直线y=3x-3与x轴、y轴的交点,并经过(2,5)点.
求:(1)抛物线的解析式;
(2)抛物线的顶点坐标及对称轴;
(3)当自变量x在什么范围内变化时,函数y随x的增大而增大?
(4)在坐标系内画出抛物线的图象.
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如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0),二次函数y=x2的图象记为抛物线l1

(1)平移抛物线l1,使平移后的抛物线经过A、B两点,记为抛物线l2,求抛物线l2的函数表达式;
(2)设抛物线l2的顶点为C,请你判断y轴上是否存在点K,使得∠BKC=90°,若存在,求出K点坐标,若不存在,请说明理由;
(3)抛物线l2与y轴交于点D,点P是线段BD上的一个动点,过点P,作y轴的平行线,交抛物线l2于点E,求线段PE长度的最大值.
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如图,抛物线l1:y1=a(x+1)2+2与l2:y2=-(x-2)2-1交于点B(1,-2),且分别与y轴交于点D、E.过点B作x轴的平行线,交抛物线于点A、C,则以下结论:
①无论x取何值,y2总是负数;
②l2可由l1向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到;
③当-3<x<1时,随着x的增大,y1-y2的值先增大后减小;
④四边形AECD为正方形.
其中正确的是(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

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如图,在直角坐标系中,O是坐标原点,A(3,0)、B(m,
6
5
)是以OA为直径的⊙M上的两点,且tan∠AOB=
1
2
,BH⊥x轴,垂足为H
(1)求H点的坐标;
(2)求图象经过A、B、O三点的二次函数的解析式;
(3)设点C为(2)中的二次函数图象的顶点,问经过B、C两点的直线是否与⊙M相切,请说明理由.
注:抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)的顶点为(-
b
2a
4ac-b2
4a
)
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