如图1,抛物线y=a(x-2)2-2的顶点为C,抛物线与x轴交于A,B两点(其中A点在B点的左边),CH⊥AB于H,且tan∠ACH=12(1)求抛物线的解析式

如图1,抛物线y=a(x-2)2-2的顶点为C,抛物线与x轴交于A,B两点(其中A点在B点的左边),CH⊥AB于H,且tan∠ACH=12(1)求抛物线的解析式

题型:不详难度:来源:
如图1,抛物线y=a(x-2)2-2的顶点为C,抛物线与x轴交于A,B两点(其中A点在B点的左边),CH⊥AB于H,且tan∠ACH=
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(1)求抛物线的解析式;
(2)在坐标平面内是否存在一点D,使得以O、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形?若存在,求所有的符合条件的D点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,将(1)中的抛物线平移,使其顶点在y轴的正半轴上,在y轴上是否存在一点M,使得平移后的抛物线上的任意一点P到x轴的距离与P点到M的距离相等?若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)由抛物线的解析式知:C(2,-2);
在Rt△ACH中,CH=2,AH=CH•tan∠ACH=2×
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=1,则 A(1,0)、B(3,0).
将点A的坐标代入抛物线的解析式中,得:
0=a(1-2)2-2,则 a=2;
∴抛物线的解析式:y=2(x-2)2-2=2x2-8x+6.

(2)假设存在符合条件的D点.
连接OC、BC,由B(3,0)、C(2,-2)得:
OB=3;∠HOC=∠HCO=45°,OC=2


2
;tan∠HBC=2,BC=


5

①当OBCD1、OD1=BC时,如右图;
点D1的横坐标的纵坐标与BH长相同,则点D1(1,-2).
②当OD2BC、OC=BD2时;
tan∠D2OB=tan∠HBC=2,则 直线OD2:y=2x;
设点D2(x,2x),则:BD2=


(x-3)2+(2x-0)2
=


5x2-6x+9

由OC=BD2得:2


2
=


5x2-6x+9
,解得:x=
1
5
,x=1(舍)
即点D2
1
5
2
5
).
③当OCBD3、OD3=BC时;
∠D3BO=∠HOC=45°,即tan∠D3BO=1,可设 B(x,3-x);
由OD3=BC=


5
,得:
x2+(3-x)2=5,解得 x=2,x=1(舍)
即点D3(2,1).
综上可知,存在符合条件的点D,且坐标为:(1,-2)、(
1
5
2
5
)、(2,1).

(3)设平移后的抛物线解析式为:y=2x2+m,那么其顶点为(0,m),若存在符合条件的点M,则M(0,2m);(m>0)
设P(x,2x2+m),则:
PM2=(x-0)2+(2x2+m-2m)2=x2+4x4-4mx2+m2,P到x轴的距离:2x2+m;
依题意有:x2+4x4-4mx2+m2=(2x2+m)2,解得:m=
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∴存在符合条件的点M,且坐标为 M(0,
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).
举一反三
某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于50%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)的关系符合一次函数y=-x+140.
(1)直接写出销售单价x的取值范围.
(2)若销售该服装获得利润为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价为多少元时,可获得最大利润,最大利润是多少元?
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已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1,-4)和(-1,2).求抛物线解析式.
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在△ABC中,∠ACB=90°,点A的坐标为(0,2),点B(-3,1)在抛物线y=ax2+ax-2上,点C在x轴上.
(1)求a的值;
(2)求点C的坐标;
(3)若△ABC是等腰直角三角形
①如图1,将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转β°(0<β<180°)得到△AB′C′,当点C′(2,1)恰好落在该抛物线上,请你通过计算说明点B′也在该抛物线上.
②如图2,设抛物线与y轴的交点为D、P、Q两点同时从D点出发,点P沿折线D→C→B运动到点B,点Q沿抛物线(在第二、三象限的部分)运动到点B,若P、Q两点的运动速度相同,请问谁先到达点B,为什么?
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图中是抛物线形拱桥,当水面宽为4米时,拱顶距离水面2米;当水面高度下降1米时,水面宽度为多少米?
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已知,如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴,y轴分别相交于点A(-1,0),B(0,3)两点,其顶点为D
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若抛物线与x轴另一个交点为E,求四边形ABDE的面积.
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