如图,将△AOB置于平面直角坐标系中,其中点O为坐标原点,点A的坐标为(3,0),∠ABO=60度.(1)若△AOB的外接圆与y轴交于点D,求D点坐标.(2)若
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如图,将△AOB置于平面直角坐标系中,其中点O为坐标原点,点A的坐标为(3,0),∠ABO=60度.(1)若△AOB的外接圆与y轴交于点D,求D点坐标.(2)若
题型:不详
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如图,将△AOB置于平面直角坐标系中,其中点O为坐标原点,点A的坐标为(3
,0),∠ABO=60度.
(1)若△AOB的外接圆与y轴交于点D,求D点坐标.
(2)若点C的坐标为(-1,0),试猜想过D,C的直线与△AOB的外接圆的位置关系,并加以说明.
(3)二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上,求此函数的解析式.
答案
(1)连接AD,则∠ADO=∠B=60°,
在Rt△ADO中,∠ADO=60°,
所以OD=OA÷
3
=3÷
3
=
3
,
所以D点的坐标是(0,
3
);
(2)猜想:CD与圆相切,
∵∠AOD是直角,
∴AD是圆的直径,
又∵tan∠CDO=
CO
DO
=
1
3
=
3
3
,∠CDO=30°,
∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=90°,即CD⊥AD,
∴CD切外接圆于点D;
(3)依题意可设二次函数的解析式为:
y=α(x-0)(x-3),
由此得顶点坐标的横坐标为:x=
3a
2a
=
3
2
;
即顶点在OA的垂直平分线上,作OA的垂直平分线EF,
则得∠EFA=
1
2
∠B=30°,
即得到EF=
3
EA=
3
2
3
可得一个顶点坐标为(
3
2
,
3
2
3
),
同理可得另一个顶点坐标为(
3
2
,
-
1
2
3
),
分别将两顶点代入y=α(x-0)(x-3)
可解得α的值分别为
-
2
3
3
,
2
3
9
,
则得到二次函数的解析式是y=
-
2
3
3
x(x-3)或y=
2
3
9
x(x-3).
举一反三
如图,抛物线
y=
1
2
x
2
-
3
2
x-9
与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC、AC.
(1)求AB和OC的长;
(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作直线l平行BC,交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,连接CE,求△CDE面积的最大值.
题型:不详
难度:
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如图,规格为60cm×60cm的正方形地砖在运输过程中受损,断去一角,量得AF=30cm,CE=45cm,现准备从五边形地砖ABCEF上截出一个面积为S的矩形地砖PMBN,
(1)设BN=x,BM=y,请用含x的代数式表示y,并写出x的取值范围;
(2)请用含x的代数式表示S,并在给定的直角坐标系内画出该函数的示意图;
(3)利用函数图象回答(2)中:当x取何值时,S有最大值?最大值是多少?
题型:不详
难度:
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学校大门如图所示是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距地4米高处各有一挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米,则该校门的高度(精确到0.1米)为( )
A.8.9米
B.9.1米
C.9.2米
D.9.3米
题型:不详
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如图所示,有长24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大长度为10米),围成中间有一道篱笆的长方形
花圃.设花圃的边AB长为x,花圃的面积为s米
2
.
(1)请求出s与x的函数关系式.
(2)按照题中要求,所围的花圃面积能否是48米
2
?若能,求出的x值;若不能,请说明理由.
(参考公式:二次函数y=ax
2
+bx+c=0,当x=
-
b
2a
时,
y
最大(小)值
=
4ac-
b
2
4a
)
题型:不详
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如图1,抛物线y=a(x-2)
2
-2的顶点为C,抛物线与x轴交于A,B两点(其中A点在B点的左边),CH⊥AB于H,且tan∠ACH=
1
2
(1)求抛物线的解析式;
(2)在坐标平面内是否存在一点D,使得以O、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形?若存在,求所有的符合条件的D点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,将(1)中的抛物线平移,使其顶点在y轴的正半轴上,在y轴上是否存在一点M,使得平移后的抛物线上的任意一点P到x轴的距离与P点到M的距离相等?若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
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