设为数列的前项和,对任意的,都有为常数,且.(1)求证:数列是等比数列;(2)设数列的公比,数列满足,求数列的通项公式;(3)在满足(2)的条件下,求数列的前项
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设为数列的前项和,对任意的,都有为常数,且.(1)求证:数列是等比数列;(2)设数列的公比,数列满足,求数列的通项公式;(3)在满足(2)的条件下,求数列的前项
题型:不详
难度:
来源:
设
为数列
的前
项和,对任意的
,都有
为常数,且
.
(1)求证:数列
是等比数列;
(2)设数列
的公比
,数列
满足
,求数列
的通项公式;
(3)在满足(2)的条件下,求数列
的前
项和
.
答案
(1)证明:当
时,
,解得
.…………………1分
当
时,
.即
.………2分
又
为常数,且
,∴
. ………………………3分
∴数列
是首项为1,公比为
的等比数列. ……………………4分
(2)解:由(1)得,
,
. ………………………5分
∵
,∴
,即
.………7分
∴
是首项为
,公差为1的等差数列.………………………………………8分
∴
,即
(
).………………………9分
(3)解:由(2)知
,则
.
所以
, ………………10分
即
, ① ……11分
则
, ②………12分
②-①得
, ……………………13分
故
. ………………14分
解析
本题主要考查等比数列的性质.当出现等比数列和等差数列相乘的形式时,求和可用错位相减法.
(1)当n≥2时,根据an=Sn-Sn-1,进而得出an和an-1的关系整理得a
n
a
n-1
=m
( 1+m) ,因m为常数,进而可证明当n≥2时数列{an}是等比数列.,当n=1时等式也成立,原式得证.
(2)根据(1)可得f(m)的解析式.再根据bn=f(bn-1)整理可得(1
bn) -(1
b
n-1
) =1进而推知数列{bn}为等差数列,首项为2a1,公差为1,再根据等差数列的通项公式可得答案.
(3)把(2)中的bn代入{2
n+1
b
n
},再通过错位相减法求得Tn
举一反三
已知
是等差数列
的前
项和,
,
,
则下列结论中错误的( )
A.
B.
C.
D.
与
均为
的最大值
题型:不详
难度:
|
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已知数列
是首项为2,公差为1的等差数列,
是首项为1,公比为2的等比数列,则数列
前10项的和等于 ( )
A.511
B.512
C.1023
D.1033
题型:不详
难度:
|
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等差数列
中,
则此数列的前
项和 _________.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分14分)
设数列
的前项
和为,已知
,
,
(1)求数列
的通项公式;
(2)若
,数列
的前项和为
,
证明:
.
题型:不详
难度:
|
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等差数列
的前
项和为
,如果存在正整数
和
,使得
,
,则( )
A.
的最小值为
B.
的最大值为
C.
的最小值为
D.
的最大值为
题型:不详
难度:
|
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