如图，已知抛物线y=ax2-2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1，0），O是坐标原点，且OC=3OA．点E为线段BC上的动点（点E

题型：不详难度：来源：

如图，已知抛物线y=ax²-2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1，0），O是坐标原点，且OC=3OA．点E为线段BC上的动点（点E不与点B，C重合），以E为顶点作∠OEF=45°，射线ET交线段OB于点F．
（1）求出此抛物线函数表达式，并直接写出直线BC的解析式；
（2）求证：∠BEF=∠COE；
（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
（4）点P为抛物线的对称轴与直线BC的交点，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以点A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵点A的坐标是（-1，0），则AO=1，OC=3OA=3，
∴C为（0，-3）
∵抛物线过（-1，0）和（0，-3）

∴ a+2a+c=0 c=-3 ∴ a=1 c=-3

∴此抛物线函数表达式为：y=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
∴B点坐标为：（3，0），
设BC直线解析式为：y=kx+b，

b=-3 3k+b=0

，
解得：

k=1 b=-3

，
直线BC的解析式：y=x-3；

（2）∵OB=OC=3
∴∠OCB=∠OBC=45°
又∵∠OEF+∠BEF=∠COE+∠OCB
且∠OEF=45°
∴∠BEF=∠COE；

（3）①∵∠OFE=∠BEF+∠OBC＞45°
∴∠OFE＞∠OEF
∴OE＞OF即OE≠OF．
②当OE=EF时，
在△COE和△BEF中

∠BEF=∠COE ∠OCE=∠EBF OE=EF

，
∴△COE≌△BEF（AAS），
∴BE=CO=3．
过E作ED⊥x轴于D．
∴ED=BD=BEcos45°=

3 2

2

，
∴OD=3-

3 2

2

，
∴E为（3-

3 2

2

，-

3 2

2

）；
③当OF=EF时，则∠FOE=∠OEF=45°
∴∠OFE=90°．∴EF⊥OB．
∴E为BC的中点，∴E为(

3

2

，-

3

2

)．

（4）对称轴为x=1，
∴P为（1，-2）．
①AP为边，
此时P点纵坐标为2或-2，
令x²-2x-3=2
即x²-2x-5=0
∴x₁=1+

6

，x₂=1-

6

，
∴N为（1+

6

，2）或（1-

6

，2），
故M为（3+

6

，0）或（3-

6

，0），
令x²-2x-3=-2
即x²-2x-1=0，
∴x₁=1+

2

，x₂=1-

2

，
∴N为（1+

2

，2）或（1-

2

，2），
故M为（-1+

2

，0）或（-1-

2

，0），
②AP为对角线，
设M为（x，0）
则N为（-x，-2）
∴x²+2x-3=-2
x²+2x-1=0
∴x₁=-1+

2

，x₂=-1-

2

，
故M为（-1+

2

，0）或（-1-

2

，0），
综上所述：M为（3+

6

，0）或（3-

6

，0）或（-1+

2

，0）或（-1-

2

，0）．