如图,用长为32米的篱笆围成一个外形为矩形的花圃,花圃的一边利用原有墙,中间用2道篱笆割成3个小矩形.已知原有墙的最大可利用长度为15米,花圃的面积为S平方米,

如图,用长为32米的篱笆围成一个外形为矩形的花圃,花圃的一边利用原有墙,中间用2道篱笆割成3个小矩形.已知原有墙的最大可利用长度为15米,花圃的面积为S平方米,

题型:不详难度:来源:
如图,用长为32米的篱笆围成一个外形为矩形的花圃,花圃的一边利用原有墙,中间用2道篱笆割成3个小矩形.已知原有墙的最大可利用长度为15米,花圃的面积为S平方米,平行于原有墙的一边BC长为x米.
(1)求S关于x的函数关系式;
(2)当围成的花圃面积为60平方米时,求AB的长;
(3)能否围成面积比60平方米更大的花圃?如果能,那么最大的面积是多少?如果不能,请说明理由.
答案
(1)∵BC=x,则CD=
1
4
(32-x),
∴S=BC×AB=x×
1
4
(32-x)=-
1
4
x2+8x,
答:S与x之间的函数关系式是S=-
1
4
x2+8x;

(2)当S=60时,60=-
1
4
x2+8x,
整理得:x2-32x+240=0,
解得:x1=12,x2=20,
∵墙的最大可利用长度为15m,
∴BC最长是15m,则x=12,
∴AB=
1
4
(32-12)=5(m),
即花圃的宽AB为5m,
答:如果要围成面积为60m2的花圃,AB的长是5米.

(3)能,
理由:S=-
1
4
x2+8x=-
1
4
(x-16)2+64,
∵图象开口向下,当x≤16时,S随x的增大而增大,
∵0≤x≤≤15,
∴当x=15m时,S最大=-
1
4
(15-16)2+64=63.75m2>60m2
∴x=15m时,能围成面积比60m2更大的花圃,最大面积为63.75m2
答:能围成面积比60m2更大的花圃,最大面积是63.75m2
举一反三
如图,抛物线与x轴交于点(-1,0)和(3,0),与y轴交于点(0,-3)则此抛物线对此函数的表达式为(  )
A.y=x2+2x+3B.y=x2-2x-3C.y=x2-2x+3D.y=x2+2x-3

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如图①,四边形ABCD是边长为5的正方形,以BC的中点O为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.抛物线y=ax2经过A、O、D三点,图②和图③是把一些这样的小正方形及其内部抛物线部分经过拼组得到的.

(1)a的值为______;
(2)图②中矩形EFGH的面积为______;
(3)图③中正方形PQRS的面积为______.
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已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点为C,顶点为M,直线CM的解析式y=-x+2并且线段CM的长为2


2

(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线与x轴有两个交点A(x1,0)、B(x2,0),且点A在B的左侧,求线段AB的长;
(3)若以AB为直径作⊙N,请你判断直线CM与⊙N的位置关系,并说明理由.
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如图,二次函数的图象与x轴相交于点A(-3,0)、B(-1,0),与y轴相交于点C(0,3),点P是该图象上的动点;一次函数y=kx-4k(k≠0)的图象过点P交x轴于点Q.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)当点P的坐标为(-4,m)时,求证:∠OPC=∠AQC;
(3)点M,N分别在线段AQ、CQ上,点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动,同时,点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动,当点M,N中有一点到达Q点时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒.
①连接AN,当△AMN的面积最大时,求t的值;
②直线PQ能否垂直平分线段MN?若能,请求出此时点P的坐标;若不能,请说明你的理由.
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如图,正方形ABCD的边长为4,P是边BC上一点,QP⊥AP交DC于Q,问当点P在何位置时,△ADQ的面积最小并求出这个最小面积.
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