如图,正方形ABCD的边长为4,P是边BC上一点,QP⊥AP交DC于Q,问当点P在何位置时,△ADQ的面积最小并求出这个最小面积.
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如图,正方形ABCD的边长为4,P是边BC上一点,QP⊥AP交DC于Q,问当点P在何位置时,△ADQ的面积最小并求出这个最小面积.
题型:不详
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如图,正方形ABCD的边长为4,P是边BC上一点,QP⊥AP交DC于Q,问当点P在何位置时,△ADQ的面积最小并求出这个最小面积.
答案
设BP=x,
∵∠BAP+∠BPA=90°,∠BPA+∠CPQ=90°,
∴∠BAP=∠CPQ,又∠B=∠C=90°,
∴△ABP
∽
△PCQ,
∴
AB
PC
=
BP
CQ
,
∴CQ=
BP•PC
AB
=
x(4-x)
4
=-
1
4
x
2
+x,
∴DQ=
1
4
x
2
-x+4
∴S
△ADQ
=
1
2
AD•DQ=
1
2
×4(
1
4
x
2
-x+4)
=
1
2
x
2
-2x+8,
∴当x=-
-2
2×
1
2
=2时,S
△ADQ
=6.即当点P在BC中点时,△ADQ有最小值6.
举一反三
如图是一个抛物线形拱桥的示意图,桥的跨度AB为100米,支撑桥的是一些等距的立柱,相邻立柱的水平距离为10米(不考虑立柱的粗细),其中距A点10米处的立柱FE的高度为3.6米.
(1)求正中间的立柱OC的高度;
(2)是否存在一根立柱,其高度恰好是OC的一半?请说明理由.
题型:不详
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已知抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线
y=
5
4
作垂线,垂足为M,连FM(如图).
(1)求字母a,b,c的值;
(2)在直线x=1上有一点
F(1,
3
4
)
,求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形;
(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立?若存在请求出t
值,若不存在请说明理由.
题型:不详
难度:
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如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax
2
+bx-7的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点C为抛物
线的顶点,且A,C两点的横坐标分别为1和4.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求二次函数的函数表达式;
(3)在(2)的抛物线上,是否存在点P,使得∠BAP=45°?若存在,求出点P的坐标及此时△ABP的面积;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
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已知二次函数y=x
2
-mx+m-2.
(1)求证:无论m为任何实数,该二次函数的图象与x轴都有两个交点;
(2)当该二次函数的图象经过点(3,6)时,求二次函数的解析式;
(3)将直线y=x向下平移2个单位长度后与(2)中的抛物线交于A、B两点(点A在点B的左边),一个动点P自A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标,并求出这个最短总路径的长.
题型:不详
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如图,抛物线经过A(-1,0),B(5,0),C(0,
-
5
2
)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
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