如图是一个抛物线形拱桥的示意图,桥的跨度AB为100米,支撑桥的是一些等距的立柱,相邻立柱的水平距离为10米(不考虑立柱的粗细),其中距A点10米处的立柱FE的

如图是一个抛物线形拱桥的示意图,桥的跨度AB为100米,支撑桥的是一些等距的立柱,相邻立柱的水平距离为10米(不考虑立柱的粗细),其中距A点10米处的立柱FE的

题型:不详难度:来源:
如图是一个抛物线形拱桥的示意图,桥的跨度AB为100米,支撑桥的是一些等距的立柱,相邻立柱的水平距离为10米(不考虑立柱的粗细),其中距A点10米处的立柱FE的高度为3.6米.
(1)求正中间的立柱OC的高度;
(2)是否存在一根立柱,其高度恰好是OC的一半?请说明理由.
答案
(1)根据题意可得中间立柱OC经过AB的中点O.
如图,以点O为原点,以AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
问题转化为求点C的纵坐标.
|OF|=40(米),故B(50,0),E(-40,3.6)
设抛物线的解析式为y=ax2+c





502a+c=0
402a+c=3.6
解得:





a=-
1
250
c=10

∴y=-
1
250
x2+10,当x=0时,y=10
即正中间的立柱OC的高度是10(米);

(2)设存在一根立柱的高度是OC的一半,即这根立柱的高度是5米.
则有5=-
1
250
x2+10.解得:x=±25


2

∵相邻立柱之间的间距为10米.最中间的立柱OC在y轴上,
根据题意每根立柱上的点的横坐标为10的整数倍,
∴x=±25


2
与题意不符,
∴不存在一根立柱,其高度恰好是OC高度的一半.
举一反三
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线y=
5
4
作垂线,垂足为M,连FM(如图).
(1)求字母a,b,c的值;
(2)在直线x=1上有一点F(1,
3
4
)
,求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形;
(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立?若存在请求出t值,若不存在请说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx-7的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点C为抛物线的顶点,且A,C两点的横坐标分别为1和4.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求二次函数的函数表达式;
(3)在(2)的抛物线上,是否存在点P,使得∠BAP=45°?若存在,求出点P的坐标及此时△ABP的面积;若不存在,请说明理由.
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已知二次函数y=x2-mx+m-2.
(1)求证:无论m为任何实数,该二次函数的图象与x轴都有两个交点;
(2)当该二次函数的图象经过点(3,6)时,求二次函数的解析式;
(3)将直线y=x向下平移2个单位长度后与(2)中的抛物线交于A、B两点(点A在点B的左边),一个动点P自A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标,并求出这个最短总路径的长.
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如图,抛物线经过A(-1,0),B(5,0),C(0,-
5
2
)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图①所示,在直角梯形ABCD中,∠BAD=90°,E是直线AB上一点,过E作直线lBC,交直线CD于点F.将直线l向右平移,设平移距离BE为t(t≥0),直角梯形ABCD被直线l扫过的面积(图中阴影部分)为S,S关于t的函数图象如图②所示,OM为线段,MN为抛物线的一部分,NQ为射线,N点横坐标为4.

信息读取
(1)梯形上底的长AB=______;
(2)直角梯形ABCD的面积=______;
图象理解
(3)写出图②中射线NQ表示的实际意义;
(4)当2<t<4时,求S关于t的函数关系式;
问题解决
(5)当t为何值时,直线l将直角梯形ABCD分成的两部分面积之比为1:3.
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