如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲线C:y2=3x(y≥0)上的n个点,点Ai(ai,0)(i
题型:不详难度:来源:
如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲线C:y2=3x(y≥0)上的n个点,点Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在x轴的正半轴上,且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐标原点). (1)写出a1,a2,a3; (2)求出点An(an,0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式. |
答案
(1)a1=2,a2=6,a3=12(2)an=n(n+1)(n∈N*) |
解析
(1)a1=2,a2=6,a3=12; (2)依题意,得xn=,yn=,由此及=3xn得 2=(an-1+an),即(an-an-1)2=2(an-1+an). 由(1)可猜想:an=n(n+1)(n∈N*). 下面用数学归纳法予以证明: (1)当n=1时,命题显然成立; (2)假定当n=k时命题成立,即有ak=k(k+1), 则当n=k+1时,由归纳假设及(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1)得[ak+1-k(k+1)]2=2[k(k+1)+ak+1], 即(ak+1)2-2(k2+k+1)ak+1+[k(k-1)]·[(k+1)(k+2)]=0, 解之得ak+1=(k+1)(k+2)(ak+1=k(k-1)<ak不合题意,舍去), 即当n=k+1时,命题也成立.所以an=n(n+1)(n∈N*). |
举一反三
对于定义域为A的函数f(x),如果任意的x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)是A上的严格增函数;函数f(k)是定义在N*上,函数值也在N*中的严格增函数,并且满足条件f(f(k))=3k. (1)证明:f(3k)=3f(k); (2)求f(3k-1)(k∈N*)的值; (3)是否存在p个连续的自然数,使得它们的函数值依次也是连续的自然数;若存在,找出所有的p值,若不存在,请说明理由. |
已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点,则实数m的取值范围为( ) |
设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(2-x)+f(x)=0成立.如果实数m,n满足不等式组则m2+n2的取值范围是( )A.(3,7) | B.(9,25) | C.(13,49) | D.(9,49) |
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已知函数f(x)=2x+1,x∈N*.若∃x0,n∈N*,使f(x0)+f(x0+1)+…+f(x0+n)=63成立,则称(x0,n)为函数f(x)的一个“生成点”.则函数f(x)的“生成点”共有( ) |
已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为________. |
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