对于定义域为A的函数f(x),如果任意的x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)是A上的严格增函数;函数f(k)是定义在N*
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对于定义域为A的函数f(x),如果任意的x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)是A上的严格增函数;函数f(k)是定义在N*上,函数值也在N*中的严格增函数,并且满足条件f(f(k))=3k. (1)证明:f(3k)=3f(k); (2)求f(3k-1)(k∈N*)的值; (3)是否存在p个连续的自然数,使得它们的函数值依次也是连续的自然数;若存在,找出所有的p值,若不存在,请说明理由. |
答案
(1)见解析(2)2×3k-1(k∈N*)(3)存在p=3k-1+1 |
解析
(1)证明:对k∈N*,f(f(k))=3k,∴f[f(f(k))]=f(3k)① 由已知f(f(k))=3k,∴f[f(f(k))]=3f(k),② 由①、②∴f(3k)=3f(k) (2)若f(1)=1,由已知f(f(k))=3k得f(1)=3,矛盾; 设f(1)=a>1,∴f(f(1))=f(a)=3,③ 由f(k)严格递增,即1<a⇒f(1)<f(a)=3, ∴∴f(1)=2, 由③f(f(1))=f(a)=3,故f(f(1))=f(2)=3. ∴f(1)=2,f(2)=3. f(3)=3f(1)=6,f(6)=f(3·2)=3f(2)=9, f(9)=3f(3)=18,f(18)=3f(6)=27, f(27)=3f(9)=54,f(54)=3f(18)=81. 依此类推归纳猜出:f(3k-1)=2×3k-1(k∈N*). 下面用数学归纳法证明: (1)当k=1时,显然成立; (2)假设当k=l(l≥1)时成立,即f(3l-1)=2×3l-1, 那么当k=l+1时,f(3l)=f(3×3l-1)=3f(3l-1)=3×2×3l-1=2·3l.猜想成立,由(1)、(2)所证可知,对k∈N*f(3k-1)=2×3k-1成立. (3)存在p=3k-1+1,当p个连续自然数从3k-1→2×3k-1时,函数值正好也是p个连续自然数从f(3k-1)=2×3k-1→f(2×3k-1)=3k. |
举一反三
已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点,则实数m的取值范围为( ) |
设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(2-x)+f(x)=0成立.如果实数m,n满足不等式组则m2+n2的取值范围是( )A.(3,7) | B.(9,25) | C.(13,49) | D.(9,49) |
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已知函数f(x)=2x+1,x∈N*.若∃x0,n∈N*,使f(x0)+f(x0+1)+…+f(x0+n)=63成立,则称(x0,n)为函数f(x)的一个“生成点”.则函数f(x)的“生成点”共有( ) |
已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为________. |
设函数f(x)=-x3+3x+2,若不等式f(3+2sin θ)<m对任意θ∈R恒成立,则实数m的取值范围为________. |
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