(1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)顶点为C(1,1)且过原点O, 可得-=1,=1,c=0, ∴a=-1,b=2,c=0.
(2)由(1)知抛物线的解析式为y=-x2+2x, 故设P点的坐标为(m,-m2+2m),则M点的坐标(m,), ∵△PFM是以PM为底边的等腰三角形 ∴PF=MF,即(m-1)2+(-m2+2m-)2=(m-1)2+(-)2 ∴-m2+2m-=或-m2+2m-=-, ①当-m2+2m-=时,即-4m2+8m-5=0 ∵△=64-80=-16<0 ∴此式无解 ②当-m2+2m-=-时,即m2-2m=- ∴m=1+或m=1- Ⅰ、当m=1+时,P点的坐标为(1+,),M点的坐标为(1+,) Ⅱ、当m=1-时,P点的坐标为(1-,),M点的坐标为(1-,), 经过计算可知PF=PM, ∴△MPF为正三角形, ∴P点坐标为:(1+,)或(1-,).
(3)当t=时,即N与F重合时PM=PN恒成立. 证明:过P作PH与直线x=1的垂线,垂足为H, 在Rt△PNH中, PN2=(x-1)2+(t-y)2=x2-2x+1+t2-2ty+y2, PM2=(-y)2=y2-y+, P是抛物线上的点, ∴y=-x2+2x;∴PN2=1-y+t2-2ty+y2=y2-y+, ∴-y+2ty+-t2=0,y(2t-)+(-t2)=0对任意y恒成立. ∴2t-=0且-t2=0, ∴t=, 故t=时,PM=PN恒成立. ∴存在这样的点. |