(1)∵直线y=kx+b过点F(0,1), ∴b=1;
(2)∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点, ∴可以得出:kx+b=x2, 整理得:x2-kx-1=0, ∵a=,c=-1, ∴x1•x2=-4,
(3)△M1FN1是直角三角形(F点是直角顶点). 理由如下:∵FM12=FF12+M1F12=x12+4, FN12=FF12+F1N12=x22+4, M1N12=(x2-x1)2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+8, ∴FM12+FN12=M1N12, ∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形.
(4)符合条件的定直线m即为直线l:y=-1. 过M作MH⊥NN1于H,MN2=MH2+NH2=(x1-x2)2+(y1-y2)2, =(x1-x2)2+[(kx1+1)-(kx2+1)]2, =(x1-x2)2+k2(x1-x2)2, =(k2+1)(x1-x2)2, =(k2+1)[(x1+x2)2-4x1•x2] =(k2+1)(16k2+16) =16(k2+1)2, ∴MN=4(k2+1), 分别取MN和M1N1的中点P,P1, PP1=(MM1+NN1)=(y1+1+y2+1)=(y1+y2+2)=(y1+y2)+1=k(x1+x2)+2=2k2+2, ∴PP1=MN 即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半. ∴以MN为直径的圆与l相切. 即对于过点F的任意直线MN,存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切,这条直线m的解析式是y=-1. |