如图,在第二象限内作射线OC,与x轴的夹角为60°,在射线OC上取一点A,过点A作AH⊥x轴于点H,在抛物线y=x2(x<0)上取一点P,在y轴上取一点Q,使得

如图,在第二象限内作射线OC,与x轴的夹角为60°,在射线OC上取一点A,过点A作AH⊥x轴于点H,在抛物线y=x2(x<0)上取一点P,在y轴上取一点Q,使得

题型:不详难度:来源:
如图,在第二象限内作射线OC,与x轴的夹角为60°,在射线OC上取一点A,过点A作AH⊥x轴于点H,在抛物线y=x2(x<0)上取一点P,在y轴上取一点Q,使得以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等,则符合条件的点A的坐标是______.
答案
①当∠POQ=∠OAH=30°,若以P,O,Q为顶点的三角形与△AOH全等,那么A、P重合;
由于∠AOH=60°,
所以直线y=-


3
x,联立抛物线的解析式,
得:





y=-


3
x
y=x2

解得





x=0
y=0





x=-


3
y=3

故A(-


3
,3);
②当∠POQ=∠AOH=60°,此时△POQ≌△AOH;
易知∠POH=30°,则直线y=-


3
3
x,联立抛物线的解析式,
得:





y=-


3
3
x
y=x2

解得





x=0
y=0
或;





x=-


3
3
y=
1
3

故P(-


3
3
1
3
),那么A(-
1
3


3
3
);
③当∠OPQ=90°,∠POQ=∠AOH=60°时,此时△QOP≌△AOH;
易知∠POH=30°,则直线y=-


3
3
x,联立抛物线的解析式,
得:





y=-


3
3
x
y=x2

解得





x=0
y=0





x=-


3
3
y=
1
3

故P(-


3
3
1
3
),
∴OP=
2
3
,QP=
2


3
3

∴OH=OP=
2
3
,AH=QP=
2


3
3

故A(-
2
3
2


3
3
);
④当∠OPQ=90°,∠POQ=∠OAH=30°,此时△OQP≌△AOH;
此时直线y=-


3
x,联立抛物线的解析式,
得:





y=-


3
x
y=x2

解得





x=0
y=0





x=-


3
y=3

∴P(-


3
,3);
∴QP=2,OP=2


3

∴OH=QP=2,AH=OP=2


3

故A(-2,2


3
).
综上可知:符合条件的点A有四个,则符合条件的点A的坐标是(-


3
,3);或(-
1
3


3
3
)或(-
2
3
2


3
3
)或(-2,2


3
).
故答案为:(-


3
,3);或(-
1
3


3
3
)或(-
2
3
2


3
3
)或(-2,2


3
举一反三
二次函数y=
2
3
x2的图象如图所示,点A0位于坐标原点,A1,A2,A3,…,A2010在y轴的正半轴上,B1,B2,B3,…,B2010在二次函数第一象限的图象上,若△A0B1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…,△A2009B2010A2010都为等边三角形,请计算△A2009B2010A2010的边长=______.
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已知:如图1,抛物线经过点O、A、B三点,四边形OABC是直角梯形,其中点A在x轴上,点C在y轴上,BCOA,A(12,0)、B(4,8).
(1)求抛物线所对应的函数关系式;
(2)若D为OA的中点,动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动,速度为每秒1个单位,移动时间记为t秒.几秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成1﹕3两部分?并求出此时P点的坐标;
(3)如图2,作△OBC的外接圆O′,点Q是抛物线上点A、B之间的动点,连接OQ交⊙O′于点M,交AB于点N.当∠BOQ=45°时,求线段MN的长.
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在直角坐标平面中,O为坐标原点,二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C(如图),点C的坐标为(0,-3),且BO=CO.
(1)求出B点坐标和这个二次函数的解析式;
(2)求△ABC的面积;
(3)若P是抛物线对称轴上一个动点,求当PA+PC的值最小时P点坐标.
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某公司积极应对2008年世界金融危机,及时调整投资方向生产新产品,由于新产品开发初期成本高,且市场占有率不高等因素的影响,产品投产上市一年来,公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程(公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次),公司累积获得的利润y(万元)与销售时间x(月)之间的函数关系(即前x个月的利润总和y与x之间的关系)如图所示,其中曲线OAB为抛物线的一部分,点A为该抛物线的顶点,BC是线段.
(1)求该公司累积获得的利润y(万元)与时间x(月)之间的函数关系式;
(2)直接写出x月份所获得的利润w(万元)与时间x(月)之间的函数关系式;
(3)前12个月中,几月份该公司所获得的利润最多?最多利润是多少万元?
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已知抛物线y=ax2+bx-1经过点A(一1,0)、B(m,0)(m>0),且与y轴交于点C
(1)求抛物线对应的函数表达式(用含m的式子表示);
(2)如图,⊙M经过A、B、C三点,求扇形MBC(阴影部分)的面积S(用含m的式子表示);
(3)若抛物线上存在点P,使得△APB△ABC,求m的值.
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