(1)∵抛物线经过点A(12,0)、B(4,8)和原点O, ∴设抛物线解析式为y=ax2+bx(a≠0), 则, 解得, ∴抛物线所对应的函数关系式为y=-x2+3x;
(2)∵A(12,0),B(4,8),BC∥OA, ∴OA=12,BC=4,OC=8,∠OAB=45°, ∴梯形OABC的面积=×(4+12)×8=64, ∵AD是OA的中点, ∴OD=AD=OA=×12=6, ∵线段PD将梯形OABC的面积分成1:3两部分, ∴分成两部分的面积分别为64×=16, 64×=48, 如图1,△ADP的面积是16时,过点P作PE⊥x轴于E, ∵AP=t, ∴PE=t, ∴×6×t=16, 解得t=, ∴PE=×=, OE=12-×=, ∴点P(,), △PDO的面积是16时,×6•OP=16, 解得OP=, ∵AB==8, ∴t=(AB+BC+OC-OP)÷1=8+4+8-=8+, 此时,点P(0,), 综上所述,秒或8+秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成1:3两部分, 此时P点的坐标为(,)或(0,);
(3)在Rt△OBC中,由勾股定理得,OB===4, ∵∠OAB=45°,∠BOQ=45°, ∴∠OAB=∠BOQ, 又∵∠ABO=∠OBN, ∴△AOB∽△ONB, ∴=, 即=, 解得ON=3, 如图2,连接BM,∵∠BOQ=45°,OB是⊙O′的直径, ∴△OBM是等腰直角三角形, ∴OM=OB=×4=2, ∴MN=ON-OM=3-2=. |