(1)∵抛物线的顶点为(0,4), ∴可设抛物线解析式为y=ax2+4, 又∵抛物线过点(2,0), ∴0=4a+4,解得a=-1, ∴抛物线解析式为y=-x2+4;
(2)①如图,连接CE,CD. ∵OD是⊙C的切线,∴CE⊥OD. 在Rt△CDE中,∠CED=90°,CE=AC=2,DC=4, ∴∠EDC=30°, ∴在Rt△CDO中,∠OCD=90°,CD=4,∠ODC=30°, ∴OC=, ∴当直线OD与以AB为直径的圆相切时,k=OC=;
②存在k=2,能够使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上.理由如下: 设抛物线y=-x2+4向右平移k个单位后的解析式是y=-(x-k)2+4,它与y=-x2+4交于点P, 由-(x-k)2+4=-x2+4,解得x1=,x2=0(不合题意舍去), 当x=时,y=-k2+4, ∴点P的坐标是(,-k2+4). 设直线OD的解析式为y=mx,把D(k,4)代入, 得mk=4,解得m=, ∴直线OD的解析式为y=x, 若点P(,-k2+4)在直线y=x上,得-k2+4=•, 解得k=±2(负值舍去), ∴当k=2时,O、P、D三点在同一条直线上. |