已知二次函数的图象开口向上且不过原点0,顶点坐标为(1,-2),与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,且满足关系式OC2=OA-OB.(1)求二次函数的解析式;(
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已知二次函数的图象开口向上且不过原点0,顶点坐标为(1,-2),与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,且满足关系式OC2=OA-OB. (1)求二次函数的解析式; (2)求△ABC的面积. |
答案
(1)∵抛物线顶点坐标为(1,-2), 设顶点式为y=a(x-1)2-2=ax2-2ax+a-2,A(x1,0),B(x2,0), 则x1x2=,C(0,a-2), 由OC2=OA•OB,得(a-2)2=|x1x2|=||,即a3-4a2+4a=|a-2|, 当0<a<2时,有a3-4a2+5a-2=0 即(a-1)2(a-2)=0, 解得a1=1或a2=2(舍去) 由a=1得y=x2-2x-1; 当a>2时,有a3-4a2+3a+2=0 即(a-2)(a2-2a-1)=0 解得a1=2(舍去),a2=1+,a3=1-(舍去), 故a=1+,y=(1+)x2-(2+2)x+-1, 故 所求二次函数解析式为:y=x2-2x-1或y=(1+)x2-(2+2)x+-1; (2)由S△ABC=|AB|•|OC|,有两种情况: ①当y=x2-2x-1时, |AB|=|x1-x2|==2, 又|OC|=1,故S△ABC=×2×1=; ②当y=(1+)x2-(2+2)x+-1时, |AB|=|x1-x2|==2, 又|OC|=-1,则 S△ABC=×2×(-1)=(-1). 故所求△ABC的面积为(-1)或. |
举一反三
一家超市计划销售50件某种家用电器,经过一段时间的销售实践,超市经理发现该种家用电器的每件价格与购买率(实际销售数÷计划销售数=购买率)之间有下列关系:每件价格(单位:元) | 250 | 235 | 220 | 205 | 190 | 购买率(%) | 60 | 66 | 72 | 78 | 84 | 已知抛物线y=x2+(1-2a)x+a2(a≠0)与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)(x1≠x2). (1)求a的取值范围,并证明A、B两点都在原点O的左侧; (2)若抛物线与y轴交于点C,且OA+OB=OC-2,求a的值. | 有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20米,拱顶距离水面4米.设正常水位时桥下的水深为2米,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18米,则水深超过______米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.
| 如图,抛物线y=-x2+mx过点A(4,0),O为坐标原点,Q是抛物线的顶点. (1)求m的值; (2)点P是x轴上方抛物线上的一个动点,过P作PH⊥x轴,H为垂足.有一个同学说:“在x轴上方抛物线上的所有点中,抛物线的顶点Q与x轴相距最远,所以当点P运动至点Q时,折线P-H-O的长度最长”,请你用所学知识判断:这个同学的说法是否正确.
| 已知二次函数y=x2-4ax+4a2+a-1(a为常数),当a取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.如图分别是当a=t1,a=t2,a=t3,a=t4时二次函数的图象,它们的顶点在一条直线上,则这条直线的解析式是______.
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