已知抛物线y=x2+(1-2a)x+a2(a≠0)与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)(x1≠x2).(1)求a的取值范围,并证明A、B两点都在原点O的
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已知抛物线y=x2+(1-2a)x+a2(a≠0)与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)(x1≠x2). (1)求a的取值范围,并证明A、B两点都在原点O的左侧; (2)若抛物线与y轴交于点C,且OA+OB=OC-2,求a的值. |
答案
(1)∵抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1≠x2, ∴△=(1-2a)2-4a2>0.a<. 又∵a≠0, ∴x1•x2=a2>0, 即x1、x2必同号. 而x1+x2=-(1-2a)=2a-1<-1=-<0, ∴x1、x2必同为负数, ∴点A(x1,0),B(x2,0)都在原点的左侧.
(2)∵x1、x2同为负数, ∴由OA+OB=OC-2, 得-x1-x2=a2-2 ∴1-2a=a2-2, ∴a2+2a-3=0. ∴a1=1,a2=-3, ∵a<,且a≠0, ∴a的值为-3. |
举一反三
有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20米,拱顶距离水面4米.设正常水位时桥下的水深为2米,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18米,则水深超过______米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.
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如图,抛物线y=-x2+mx过点A(4,0),O为坐标原点,Q是抛物线的顶点. (1)求m的值; (2)点P是x轴上方抛物线上的一个动点,过P作PH⊥x轴,H为垂足.有一个同学说:“在x轴上方抛物线上的所有点中,抛物线的顶点Q与x轴相距最远,所以当点P运动至点Q时,折线P-H-O的长度最长”,请你用所学知识判断:这个同学的说法是否正确.
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已知二次函数y=x2-4ax+4a2+a-1(a为常数),当a取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.如图分别是当a=t1,a=t2,a=t3,a=t4时二次函数的图象,它们的顶点在一条直线上,则这条直线的解析式是______.
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已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠O)经过X轴上的两点A(x1,0)、B(x2,0)和y轴上的点C(0,-),⊙P的圆心P在y轴上,且经过B、C两点,若b=a,AB=2, (1)求抛物线的解析式; (2)设D在抛物线上,且C,D两点关于抛物线的对称轴对称,问直线BD是否经过圆心P,并说明理由; (3)设直线BD交⊙P于另一点E,求经过E点的⊙P的切线的解析式. |
已知抛物线y=ax2-x+c经过点Q(-2,),且它的顶点P的横坐标为-1.设抛物线与x轴相交于A、B两点,如图. (1)求抛物线的解析式; (2)求A、B两点的坐标; (3)设PB于y轴交于C点,求△ABC的面积. |
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