已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠O)经过X轴上的两点A(x1,0)、B(x2,0)和y轴上的点C(0,-32),⊙P的圆心P在y轴上,且经过B、C两
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已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠O)经过X轴上的两点A(x1,0)、B(x2,0)和y轴上的点C(0,-32),⊙P的圆心P在y轴上,且经过B、C两
题型:不详
难度:
来源:
已知:如图,抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠O)经过X轴上的两点A(x
1
,0)、B(x
2
,0)和y轴上的点C(0,
-
3
2
),⊙P的圆心P在y轴上,且经过B、C两点,若b=
3
a,AB=2
3
,
(1)求抛物线的解析式;
(2)设D在抛物线上,且C,D两点关于抛物线的对称轴对称,问直线BD是否经过圆心P,
并说明理由;
(3)设直线BD交⊙P于另一点E,求经过E点的⊙P的切线的解析式.
答案
(1)∵轴上的点C(0,
-
3
2
),
∴c=
-
3
2
,
又∵b=
3
a,AB=2
3
,令ax
2
+
3
ax-
3
2
=0,|x
1
-x
2
|=
2
3
,
解得:a=
2
3
,b=
2
3
3
;
∴抛物线的解析式是:y=
2
3
x
2
+
2
3
3
x-
3
2
.(4分)
(2)D(-
3
,-
3
2
),
直线BD为:y=
3
3
x-
1
2
,
连接BP,设⊙P的半径为R,
R
2
=
(
3
2
)
2
+
(
3
2
-R)
2
,R=1,P(0,-
1
2
),(7分)
点P的坐标满足直线BD的解析式y=
3
3
x-
1
2
.
∴直线BD经过圆心P.(8分)
(3)过点E作EF⊥y轴于F,得△OPB≌△FPE,
E(
-
3
2
,-1
),(9分)
设经过E点⊙P的切线L交y轴于点Q.
则∠PEQ=90°,EF⊥PQ,
∴PE
2
=PF•PQ,
∴PQ=2,Q(0,-2.5),(11分)
∴切线L为:y=-
3
x-2.5
.(12分)
举一反三
已知抛物线y=ax
2
-x+c经过点Q(-2,
3
2
),且它的顶点P的横坐标为-1.设抛物线与x轴相交于A、
B两点,如图.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求A、B两点的坐标;
(3)设PB于y轴交于C点,求△ABC的面积.
题型:不详
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系中,O为原点,已知A(2,0)、C(1,3
3
),将△OAC绕AC的中点G旋转180°,点O落到点B的位置,抛物线y=ax
2
-2
3
x经过点A,点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)判断点B是否在抛物线上;
(3)若点P是x轴上A点左边的一个动点,当以P、A、D为顶点的三角形与△OAB相似时,求出点P的坐标;
(4)若点M是y轴上的一个动点,要使△MAD的周长最小,请直接写出点M的坐标.
题型:不详
难度:
|
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我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益为:每投入x万元,可获得利润P=
-
1
100
(x-60
)
2
+41
(万元).当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资,在实施规划5年的前两年中,每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的3年中,该特产既在本地销售,也在外地销售.在外地销售的投资收益为:每投入x万元,可获利润
Q=-
99
100
(100-x
)
2
+
294
5
(100-x)+160
(万元).
(1)若不进行开发,求5年所获利润的最大值是多少?
(2)若按规划实施,求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少?
(3)根据(1)、(2),该方案是否具有实施价值?
题型:不详
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|
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如图,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长120米,下底长180米,上下底相距80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向通道,上下底之间有两条纵向通道,各通道的宽度相等.设通道的宽为x米.
(1)用含x的式子表示横向通道的面积;
(2)当三条通道的面积是梯形面积的八分之一时,求通道的宽;
(3)根据设计的要求,通道的宽不能超过8米.如果修建通道的总费用(万元)与通道的宽度成正比例关系,比例系数是5.5,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么当通道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?
题型:不详
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|
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如图,在第二象限内作射线OC,与x轴的夹角为60°,在射线OC上取一点A,过点A作AH⊥x轴于点H,在抛物线y=x
2
(x<0)上取一点P,在y轴上取一点Q,使得以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等,则符合条件的点A的坐标是______.
题型:不详
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