(1)将A(2,0)代入y=ax2-2x得, 4a-4=0, 解得a=, ∴抛物线的解析式为y=x2-2x;
(2)由旋转知,四边形OABC是平行四边形, ∴BC∥OA,BC=AO, ∵A(2,0)、C(1,3), ∴xB=1+2=3,yB=yC=3, ∴B(3,3), 将B(3,3)代入y=x2-2x得,×32-2×3=3, ∴点B在抛物线上;
(3)过点B作BE⊥x轴于E,过点D作DF⊥x轴于F, 由y=x2-2x=(x-1)2-得顶点D(1,-), ∵B(3,3), ∴在Rt△BOE和Rt△DAF中,tan∠BOE===, tan∠DAF===, ∴∠BOE=∠DAF=60°, ∵OA=2,OB==6, AD==2, ∴△APD和△OAB相似分如下两种情况: ①APD=∠OAB时△APD和△OAB相似, ∴=, 即=, 解得AP=, ∴OP=OA-AP=2-=, ∴点P的坐标为(,0); ②∠APD=∠OBA时△APD和△OBA相似, ∴=, 即=, 解得AP=6, ∴OP=AP-OA=6-2=4, ∴点P的坐标为(-4,0), 综上所述,点P(,0)或(-4,0);
(4)点A(2,0)关于y轴的对称点A′坐标为(-2,0), 根据轴对称确定最短路线,直线A′D与y轴的交点即为使△MAD的周长最小的点M的位置, 设直线A′D的解析式为y=kx+b, 则, 解得, ∴直线A′D的解析式为y=-x-, x=0时,y=-, ∴点M的坐标为(0,-). |