如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=45°，边长为1的正方形的一个顶点D在边AC上，与△ABC另两边分别交于点E、F，DE∥AB，将正方形平移，使点D保持

题型：山东省期中题难度：来源：

如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=45°，边长为1的正方形的一个顶点D在边AC上，与△ABC另两边分别交于点E、F，DE∥AB，将正方形平移，使点D保持在AC上（D不与A重合），设AF=x，正方形与△ABC重叠部分的面积为y。
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）x为何值时y的值最大？
（3）x在哪个范围取值时y的值随x的增大而减小？

答案

解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥AB，
∴∠B=∠CED，∠AFD=∠FDE=90°，
∴∠C=∠CED，
∴DC=DE，
在Rt△ADF中，
∵∠A=45°，
∴∠ADF=45°=∠A，
∴AF=DF=x，
∴，
∴，
∴，
∵点D保持在AC上，且D不与A重合，
∴0＜AD≤1，
∴，
∴，
故，自变量x的取值范围是；
（2）∵，
∴当时，y有最大值；
（3）∵，
∴当时，y随x的增大而减小。