如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,PE=PB. (1)求证:①PE=PD; ②PE⊥PD; (2)设A
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如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,PE=PB. (1)求证:①PE=PD; ②PE⊥PD; (2)设A
题型:山东省期末题
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如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,PE=PB.
(1)求证:①PE=PD; ②PE⊥PD;
(2)设AP=x,△PBE的面积为y.求出y关于x的函数关系式.
答案
解:①∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,
∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°.
∵PC=PC,
∴△PBC≌△PDC(SAS).
∴PB=PD,∠PBC=∠PDC.
又∵PB=PE,
∴PE=PD.
②(i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时,
∵PB=PE,
∴∠PBE=∠PEB,
∴∠PEB=∠PDC,
而∠PEB+∠PEC=180°,
∴∠PDC+∠PEC=180°,
∴∠DPE=360°﹣(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°,
∴PE⊥PD.
(ii)当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处,此时,PE⊥PD.
(iii)当点E在BC的延长线上时,如图.
∵∠PEC=∠PDC,∠1=∠2,
∴∠DPE=∠DCE=90°,
∴PE⊥PD.
综合(i)(ii)(iii),PE⊥PD;
(2)过点P作PF⊥BC,垂足为F,则BF=FE.
∵AP=x,AC=
,∠ACB=45°,PF⊥BC,
∴PC=
﹣x,PF=FC=
.
BF=FE=1﹣FC=1﹣(
)=
.
∴S
△PBE
=
EB·FP=BF·PF=
(
)=
.
即
(0<x<
).
举一反三
已知:抛物线y=ax
2
+4ax+t与x轴的一个交点为A(﹣1,0)。
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式;(3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5:2的点,如果点E在(2)中的抛物线上,且它与点A在此抛物线对称轴的同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
题型:湖北省期中题
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抛物线y=x
2
向左平移1个单位,再向下平移2个单位,得到新的图象的二次函数表达式是
[ ]
A.y=(x+1)
2
+2
B.y=(x﹣1)
2
﹣2
C.y=(x+1)
2
﹣2
D.y=(x﹣1)
2
+2
题型:浙江省期中题
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上海世博会期间,某商店出售一种海宝毛绒玩具,每件获利60元,一天可售出20件,经市场调查发现每降价1元可多售出2件,设降价x元,商店每天获利y元.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)当降价多少元时,商店可获最大利润?最大利润是多少?
题型:浙江省期中题
难度:
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已知抛物线C
1
:y=﹣x
2
+2mx+1(m为常数,且m≠0)的顶点为A,与y轴交于点C;抛物线C
2
与抛物线C
1
关于y轴对称,其顶点为B.若点P是抛物线C
1
上的点,使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,则m为
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:浙江省期中题
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已知二次函数的图象经过点(0,﹣3),且顶点坐标为(﹣1,﹣4)。
(1)求该二次函数的解析式;
(2)设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C,求△ABC的面积。
题型:浙江省期中题
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